풀이가 있는 열역학 연습문제

대전된 구와 크기성의 문제

연습문제 16 · 단원 4 — 열역학 제1법칙

쿨롱 상호작용
정전기 에너지
크기성
전기적 중성

문제

총전하 $Q > 0$ 가 진공 속 반지름 $R$ 인 구의 부피에 균일하게 분포한다. 어떤 구속이 이 분포를 유지하며, 여기서는 그 정전기 에너지 $U_{el}$ 만 센다. 이것은 도체 구가 아니다. 도체 구라면 평형에서 전하가 표면에 모일 것이다.

무한히 먼 곳에서 대전된 껍질을 가져와 분포를 조립한다. 반지름 $r$ 인 공에 이미 모인 전하가 $Q (r)$ 일 때 표면의 퍼텐셜은 $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ 이며, $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ 이다. 전하 요소들이 무한히 떨어져 있을 때 에너지는 0이다.

조립의 한 단계를 그려라. $Q (r)$ 와 $d Q$ 를 $Q, R, r$ , $d r$ 로 나타낸 뒤 $U_{el}$ 을 계산하라.
같은 전하 $q_{0}$ 를 가진 구성 요소 $N$ 개의 연속 모형에서 $Q = N q_{0}$ 로 놓는다. 입자 수 밀도를 고정하고 $R = r_{0} N^{1/3}$ 로 쓴 뒤, 에너지가 $N$ 에 어떻게 의존하는지 구하라. 그 부호와 동차 차수를 중력의 경우와 비교하라.
총전하를 고정하고 $R_{A}$ 에서 $R_{B} > R_{A}$ 로 팽창할 때의 에너지 변화를 계산하라. 이 팽창이 준정적이고 소산이 없다면, 외부에서 받은 일의 부호는 무엇인가? 이 일의 식은 전기적 기여만을 나타낸다.
부호가 다른 전하들이 있을 때 미시적 상호작용 에너지는 $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}}$
로 쓴다. 한 가지 부호의 전하만 가진 구에 대해 얻은 법칙이 모든 보통 물질이 크기성을 갖지 않음을 증명하지 못하는 이유는 무엇인가? 총전하가 0이면 이 합이 0이 되는가?

힌트

d U_{el} = Φ (r) d Q

를 이용하라. 껍질을 쌓는 방식은 각 쌍을 한 번씩 센다. 마지막 문제에서는 거리

a

만큼 떨어진 전하

+ q_{0}

와

- q_{0}

의 간단한 쌍을 살펴보라.

자세한 풀이

풀이

문제 1. 그림은 이미 대전된 반지름

r

의 공과, 가져온 두께

d r

의 껍질을 보여 준다. 부피 전하 밀도는 일정하며

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

이다. 따라서

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

껍질을 덧붙일 때의 에너지 변화는

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

중심에서 표면까지의 기여를 모두 더하면

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

각 층 쌍의 상호작용은 한 번만 세어지므로 인자 $1/2$ 를 더 붙일 필요가 없다. 결과는 양수이다. 전하를 모으려면 척력을 이겨 내야 하기 때문이다. 곱 $k_{e} Q^{2} / R$ 의 단위는 줄이다.

문제 2. 입자 수 밀도

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

가 고정되어 있으면

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

이다. 대입하면

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

이 에너지는 $5/3$ 차이므로 크기성을 갖지 않는다. 입자 하나당 에너지는 $N^{2/3}$ 에 비례하여 커진다. 두 퍼텐셜이 모두 $1/ r$ 로 줄어들기 때문에 차수는 중력 구와 같다. 같은 부호의 전하는 서로 밀어내므로 부호는 반대이다. 연속 모형은 집단적 기여를 기술하며, 점전하의 자체 에너지는 세지 않는다.

문제 3.

Q

가 고정되어 있을 때 그 차이는

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

소산이 없는 준정적 변화에서 받은 일에 대한 전기적 기여는 위치 에너지의 변화와 같다. 적분으로도 확인할 수 있다.

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

외부 작용체는 서로 밀어내는 전하를 붙잡고 있으며, 팽창하는 동안 일을 받는다. 유지 장치에 다른 형태로 저장되는 에너지는 이 전기적 수지에 포함하지 않았다.

문제 4. 같은 부호의 전하에서는 모든 곱

q_{i} q_{j}

가 양수이므로 그 기여가 쌓인다. 반면 전기적으로 중성인 물질에는 인력 기여와 척력 기여가 함께 있어 먼 거리에서 서로 상쇄될 수 있다. 따라서 중성, 그리고 그것이 작용하는 매질에서는 차폐가, 모두 같은 부호인 항을 더하는 데 바탕을 둔 추론을 바꾸어 놓는다. 그러나 총전하가 0이라고 해서

U_{el} = 0

인 것은 아니다. 거리

a

만큼 떨어진 전하

+ q_{0}

와

- q_{0}

는 총전하가 0이지만 상호작용 에너지는

- k_{e} q_{0}^{2} / a

로 0이 아니다. 스케일링 법칙을 세우려면 전하들의 배치와 상관관계를 알아야 한다. 그러므로 균일하게 대전된 구의 계산은 모든 물질이 크기성을 갖지 않는다는 증명도, 중성인 계가 크기성을 갖는다는 증명도 되지 못한다.