풀이가 있는 열역학 연습문제

같은 내부 에너지 변화, 세 가지 전달 방식

연습문제 7 · 단원 4 — 열역학 제1법칙

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문제

액체와 열량계, 액체에 잠긴 작은 저항기가 거시적으로 정지한 닫힌계를 이룬다. 용기는 단단하며 계의 총 열용량은 일정하다고 가정한다:

C=2{,}00\ \mathrm{kJ\,K^{-1}}.

계를 $T_A=20{,}0\,^\circ\mathrm{C}$ 인 평형상태 $A$ 에서 $T_B=25{,}0\,^\circ\mathrm{C}$ 인 평형상태 $B$ 로 바꾸려 한다. 다음을 인정한다:

U(B)-U(A)=C(T_B-T_A).

거시적 운동 에너지와 위치 에너지의 변화는 0이다. 외부로의 모든 손실은 무시한다.

같은 초기상태 $A$ 에서 다음 세 절차를 각각 독립적으로 시행한다:

절차 1. 계에 아무 일도 공급하지 않고 고온 열원과 열접촉시킨다.
절차 2. 벽을 단열한다. 질량 $m$ 인 추를 높이 $h=5{,}00$ m에서 떨어뜨려 날개가 액체를 젓게 한다. 마지막에 날개와 액체는 정지하며, 추가 잃은 모든 역학적 에너지는 계로 전달된다. $g=9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ 로 둔다.
절차 3. 계는 열 $Q_3=4{,}00$ kJ를 받고, 나머지 에너지는 전기적으로 저항기에 공급된다. 계가 받는 전력은 일정하며 $\mathcal P=300$ W이다.

세 절차에 공통인 내부 에너지 변화 $\Delta U=U(B)-U(A)$ 를 계산하라.
첫 두 절차 각각에 대해 계가 받은 열 $Q$ 와 일 $W$ 를 구하라. 둘째 절차에서는 필요한 질량 $m$ 을 계산하라.
셋째 절차에서 받은 전기적 일과 저항기에 전원을 공급한 시간을 계산하라.
세 과정은 초기상태와 최종상태가 같다. 그런데도 $Q$ 와 $W$ 가 달라질 수 있는 이유를 설명하라. 최종상태 $B$ 에서 계는 ‘열’이나 ‘일’을 담고 있는가?

힌트

은행가 부호 규약으로

\Delta U=Q+W

를 적용하라. 날개의 경우 계가 받는 일은 추의 위치 에너지 감소량

mgh

와 같다. 전선을 통해 경계를 지나는 전기 에너지는 전기적 일로 센다.

풀이

문제 1. 온도 차이는

T_B-T_A=5{,}0

K이다. 따라서

\Delta U=C(T_B-T_A) =2{,}00\times5{,}0 =10{,}0\ \mathrm{kJ}.

이 값은 두 평형상태 $A$ 와 $B$ 에만 의존한다.

문제 2. 첫 절차에서는 받은 일이 없으므로 $W_1=0$ 이다. 제1법칙에서

Q_1=\Delta U=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

에너지가 계로 들어가므로 열은 양수이다.

둘째 절차에서는 벽이 단열되어 $Q_2=0$ 이다. 내부 에너지 변화는 모두 날개의 역학적 일에서 온다:

W_2=\Delta U=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

$W_2=mgh$ 이므로

m=\frac{W_2}{gh} =\frac{10{,}0\times10^3}{9{,}81\times5{,}00} \simeq 204\ \mathrm{kg}.

이 큰 규모는 작은 온도 상승에도 이미 상당한 역학적 에너지가 대응함을 보여 준다.

문제 3. 제1법칙은

W_3=\Delta U-Q_3=10{,}0-4{,}00=6{,}00\ \mathrm{kJ}

를 요구한다. 전원이 계에 에너지를 주므로 이 일은 양수이다. $W_3=\mathcal P\,\Delta t$ 에서

\Delta t=\frac{W_3}{\mathcal P} =\frac{6{,}00\times10^3}{300} =20{,}0\ \mathrm{s}.

문제 4. 세 경로는 각각

(Q_1,W_1)=(10{,}0,0)\ \mathrm{kJ}, \qquad (Q_2,W_2)=(0,10{,}0)\ \mathrm{kJ},

그리고

(Q_3,W_3)=(4{,}00,6{,}00)\ \mathrm{kJ}

를 준다. 모든 경우 $Q+W$ 는 $10{,}0$ kJ이며 같은 $\Delta U$ 를 만든다. 내부 에너지는 상태 함수인 반면, 열과 일은 과정 중 에너지 전달을 나타낸다. 최종상태 $B$ 에서 계는 내부 에너지를 가지지만 ‘열’이나 ‘일’을 담지는 않는다.