문제

강의 5의 두 단열 압축 실험을 다시 다루며 필요한 결과를 여기에 제시한다. 단면적 $\mathcal S$ 의 수직 단열 실린더에 이상기체 $n$ 몰이 들어 있다. 피스톤도 단열이고 마찰 없이 움직이며 질량은 무시할 수 있다. 몰 열용량 $c_V$ , $c_P$ 는 일정하며,

\gamma=\frac{c_P}{c_V}>1,\qquad c_V=\frac{R}{\gamma-1},\qquad c_P=c_V+R.

처음 피스톤에는 대기압 $P_0$ 만 작용한다. 기체는 $P_0V_0=nRT_0$ 를 만족하는 상태 $A=(P_0,V_0,T_0)$ 이다. 질량 $M$ 의 추가 하중으로 외압은

P_1=P_0+\frac{Mg}{\mathcal S}=xP_0,\qquad x>1.

두 실험은 $A$ 에서 시작한다. 첫 실험에서는 모래알 하나씩 하중을 더하고 제거하여 기체가 가역 단열 경로 $A\to B\to A$ 를 따른다. 둘째에서는 하중을 한꺼번에 올리고 평형 $B'$ 를 기다린 뒤 한꺼번에 제거하고 평형 $B"$ 를 기다린다. 급격한 각 단계의 외압은 일정하며 정방향은 $P_1$ , 복귀는 $P_0$ 이다. 진동은 기체 내부의 소산으로 감쇠한다고 가정한다. 피스톤은 처음과 끝 상태들에서 정지하고 에너지를 저장하지 않는다.

두 압축은 중앙의 A 에서 출발한다. 왼쪽에서는 하중을 점차 더해 B 에 도달하고 점차 제거해 A 로 돌아간다. 오른쪽에서는 갑자기 올려 B' 에 도달하고 갑자기 제거하면 다른 상태 B” 에 이른다. 그림은 압축을 나타내며 네 상태는 아래에 제시한다. — 그림 1. 두 압축은 중앙의 $A$ 에서 출발한다. 왼쪽에서는 하중을 점차 더해 $B$ 에 도달하고 점차 제거해 $A$ 로 돌아간다. 오른쪽에서는 갑자기 올려 $B'$ 에 도달하고 갑자기 제거하면 다른 상태 $B"$ 에 이른다. 그림은 압축을 나타내며 네 상태는 아래에 제시한다.

가역 경로의 단열 관계식과 급격한 경로의 제1법칙으로 다음 결과를 얻었다. 다음과 같이 둔다.

\begin{aligned} \theta=\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma},\qquad \phi=\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma}. \begin{array}{c|ccc} \text{상태} & P/P_0 & V/V_0 & T/T_0\\ \hline A & 1 & 1 & 1\\[3pt] B & x & x^{-1/\gamma} & x^{(\gamma-1)/\gamma}\\[3pt] B' & x & \theta/x & \theta\\[3pt] B" & 1 & \theta\phi & \theta\phi \end{array} \end{aligned}

특히,

\theta>x^{(\gamma-1)/\gamma},\qquad \phi>x^{-(\gamma-1)/\gamma},\qquad \theta\phi-1=\frac{\gamma-1}{\gamma^2}\frac{(x-1)^2}{x}>0.

모든 단계는 단열이다. 기체가 받는 에너지를 양수로 하면 $Q=0$ , $W=\Delta U=nc_V(T_f-T_i)$ 이다. 따라서,

\begin{aligned} W_{AB}&=nc_VT_0\left[x^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right], & W_{BA}&=-W_{AB},\\ W_{AB'}&=nc_VT_0(\theta-1), & W_{B'B"}&=nc_VT_0\theta(\phi-1). \end{aligned}

가역 왕복의 순일은 0이며 급격한 경로는 $W_{AB'B"}=nc_VT_0(\theta\phi-1)>0$ 를 받는다.

$A\to B$ , $B\to A$ 의 엔트로피 변화를 계산하고 가역 왕복의 엔트로피 수지를 세워라.
$\Delta S_{AB'}$ 를 구하고 엄밀히 양수임을 보여라. 이 변화 중 교환된 부분과 생성된 부분은 각각 얼마인가?
급격한 하중 제거 $B'\to B"$ 에 대해 같은 계산을 하라.
$\Delta S_{AB"}$ 를 직접 구하고 앞의 두 생성량의 합과 같음을 확인하라. $A\to B'\to B"$ 경로는 기체의 순환인가?
두 왕복의 에너지 수지와 엔트로피 수지를 비교하라. 열교환이 없다는 것이 엔트로피 보존을 의미하지 않는 이유를 설명하라.

힌트

이상기체의 두 평형 상태 사이에서,

\Delta S=nc_V\ln\frac{T_f}{T_i}+nR\ln\frac{V_f}{V_i}.

$B'\to B"$ 에 대해 $T_{B"}/T_{B'}=\phi$ , $V_{B"}/V_{B'}=x\phi$ 를 사용하라. 문제에 제시된 부등식으로 부호를 판정할 수 있다. 각 단계에서 $S_{\mathrm{e}}=0$ 이다.

자세한 풀이

풀이

문제 1. 표에서

T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}

,

V_B/V_0=x^{-1/\gamma}

이다. 엔트로피 식에 대입하면,

\begin{aligned} \Delta S_{AB} &=nc_V\ln\left(x^{(\gamma-1)/\gamma}\right) +nR\ln\left(x^{-1/\gamma}\right)\\ &=nc_V\frac{\gamma-1}{\gamma}\ln x-\frac{nR}{\gamma}\ln x\\ &=\frac n\gamma[c_V(\gamma-1)-R]\ln x=0, \end{aligned}

이는 $c_V(\gamma-1)=R$ 이기 때문이다. 복귀는 같은 경로를 반대로 따르므로 $\Delta S_{BA}=0$ 이다. 두 단계 각각과 전체 왕복에서 $S_{\mathrm{e}}=S_{\mathrm{i}}=\Delta S=0$ 이다. 기체는 상태 $A$ 로 돌아온다.

문제 2. 급격한 압축에서

T_{B'}/T_0=\theta

,

V_{B'}/V_0=\theta/x

이다.

R=c_V(\gamma-1)

와 로그 성질을 쓰면,

\begin{aligned} \Delta S_{AB'} &=nc_V\ln\theta+nR\ln\frac{\theta}{x}\\ &=nc_V[\ln\theta+(\gamma-1)(\ln\theta-\ln x)]\\ &=nc_V[\gamma\ln\theta-(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\ln\left(\frac{\theta^\gamma}{x^{\gamma-1}}\right). \end{aligned}

주어진 부등식 $\theta>x^{(\gamma-1)/\gamma}$ 는 $\theta^\gamma>x^{\gamma-1}$ 를 준다. 로그 안의 비가 1보다 크므로 $\Delta S_{AB'}>0$ 이다. 교환 엔트로피는 0이어서 $S_{\mathrm{i},AB'}=\Delta S_{AB'}$ 이다. 기체는 열을 받지 않고도 생성에 의해 엔트로피가 증가한다.

문제 3. 급격한 하중 제거 단계의 최종 상태와 초기 상태의 비는

\frac{T_{B"}}{T_{B'}}=\frac{\theta\phi}{\theta}=\phi, \qquad \frac{V_{B"}}{V_{B'}}=\frac{\theta\phi}{\theta/x}=x\phi.

따라서,

\begin{aligned} \Delta S_{B'B"} &=nc_V\ln\phi+nR\ln(x\phi)\\ &=nc_V[\ln\phi+(\gamma-1)(\ln x+\ln\phi)]\\ &=nc_V[\gamma\ln\phi+(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\ln\left(\phi^\gamma x^{\gamma-1}\right)>0. \end{aligned}

실제로 $\phi>x^{-(\gamma-1)/\gamma}$ 에서 $\phi^\gamma x^{\gamma-1}>1$ 이다. 여기서도 $S_{\mathrm{e}}=0$ , $S_{\mathrm{i},B'B"}=\Delta S_{B'B"}$ 이다. 이 팽창에서 기체는 식지만 ( $\phi<1$ ), 팽창 항이 우세하여 엔트로피는 증가한다.

문제 4. 상태

A

,

B"

의 압력은 같고

T_{B"}/T_0=V_{B"}/V_0=\theta\phi

이므로,

\Delta S_{AB"}=nc_V\ln(\theta\phi)+nR\ln(\theta\phi) =nc_P\ln(\theta\phi)>0.

$c_P=c_V+R$ , $\theta\phi>1$ 를 사용했다. 이제 앞의 두 결과를 더하면,

\begin{aligned} \Delta S_{AB'}+\Delta S_{B'B"} &=nc_V[\gamma\ln\theta-(\gamma-1)\ln x\\ &\qquad+\gamma\ln\phi+(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\gamma(\ln\theta+\ln\phi)\\ &=nc_P\ln(\theta\phi)=\Delta S_{AB"}. \end{aligned}

$\ln x$ 항이 상쇄된다. 각 단계가 단열이므로 이 합은 두 생성 엔트로피의 합이기도 하다. 외압이 $P_0$ 로 돌아오는 것만으로 기체의 순환이 닫히지는 않는다. $T_{B"}>T_0$ , $V_{B"}>V_0$ 이므로 $B"\ne A$ 이다.

문제 5.

A\to B\to A

에서

Q_{\mathrm{tot}}=W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}}=0

,

S_{\mathrm{i},\mathrm{tot}}=0

이다.

A\to B'\to B"

에서는,

Q_{\mathrm{tot}}=0,\qquad W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}}=nc_VT_0(\theta\phi-1)>0, S_{\mathrm{e},\mathrm{tot}}=0,\qquad S_{\mathrm{i},\mathrm{tot}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}=nc_P\ln(\theta\phi)>0.

제1법칙은 순일이 내부에너지로 저장됨을 설명하고 제2법칙은 생성 엔트로피로 비가역성을 정량화한다. 단열 과정이 등엔트로피인 것은 여기의 가역 경우처럼 엔트로피를 생성하지 않을 때뿐이다.