풀이가 있는 열역학 연습문제

차가운 얼음에서 끓는 물까지: 크기 차수

연습문제 1 · 단원 2 — 열역학과 열량측정의 역사

  • 열량계
  • 상전이
  • 융해
  • 기화
  • 잠열
  • 크기 차수

문제

수치 자료(대기압):

cice=2,1×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lf=3,34×105 J ⁣⋅ ⁣kg−1,cwater=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lv=2,26×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1.\begin{aligned} c_{\text{ice}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\text{water}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

대기압에서 처음 온도가 −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C}인 얼음 1킬로그램을 단계적으로 가열한다.

  1. 얼음을 −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C}에서 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}까지 가열하는 데 필요한 에너지를 계산하라.
  2. 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}에서 얼음을 완전히 녹이는 데 필요한 에너지를 계산하라.
  3. 액체 물을 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}에서 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}까지 가열하는 데 필요한 에너지를 계산하라.
  4. 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}에서 물을 완전히 기화시키는 데 추가로 필요한 에너지를 계산하라.
  5. 어느 단계가 가장 많은 에너지를 요구하는가? 물 1킬로그램을 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}에서 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}까지 가열하는 에너지와 질량 mm이 10미터 낙하할 때의 중력 위치 에너지를 비교하라. 같은 에너지를 방출하려면 얼마의 질량이 낙하해야 하는가?
  6. 이제 역과정을 생각하자. 질량 mvm_v의 수증기가 자동차 앞유리에 응축하며, 생성된 액체 물은 이후 냉각되지 않는다고 한다. 응축 때 방출되는 열 QrelQ_{\text{rel}}을 나타내고 mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}에 대해 계산하라. 유리 온도에서 Lv=2,45×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}을 사용한다.

힌트
상전이 없는 가열에는 Q=mcΔTQ=mc\Delta T를, 일정 온도에서의 상전이에는 Q=mLQ=mL을 사용한다. 높이 hh에 있는 질량 mm의 중력 위치 에너지는 Ep=mghE_p=mgh이며, g=9,81 m ⁣⋅ ⁣s−2g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}로 둔다.

자세한 풀이

풀이
1. 얼음을 녹는점까지 가열하는 데 필요한 에너지는

Q1=mciceΔT=1,0×2,1×103×100=2,1×105 J.Q_1=mc_{\text{ice}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times100=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

2. 융해 중 온도는 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}로 유지된다.

Q2=mLf=1,0×3,34×105=3,34×105 J.Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5=3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3. 액체 물을 가열하는 데에는

Q3=mcwaterΔT=1,0×4,18×103×100=4,18×105 JQ_3=mc_{\text{water}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100=4{,}18\times10^5\,\text{J}

이 필요하다. 4. 완전한 기화에는 추가로

Q4=mLv=1,0×2,26×106=2,26×106 JQ_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6=2{,}26\times10^6\,\text{J}

이 필요하다. 이 단계만으로도 수 메가줄 규모이다.

5. 기화가 단연 가장 많은 에너지를 요구한다.

Q4=2,26×106>Q3=4,18×105>Q2=3,34×105>Q1=2,1×105 J.Q_4=2{,}26\times10^6>Q_3=4{,}18\times10^5>Q_2=3{,}34\times10^5>Q_1=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

기화에는 액체 물을 00에서 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}까지 가열할 때보다 약 (2,26×106)/(4,18×105)≈5,4(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4배 많은 에너지가 든다.

h=10 mh=10\,\text{m}에서 낙하하는 질량 mm에 대해 Ep=mghE_p=mgh이다. mgh=Q3mgh=Q_3로 놓으면

m=Q3gh=4,18×1059,81×10≈4,26×103 kg.m=\frac{Q_3}{gh}=\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

따라서 물 1킬로그램을 00에서 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}까지 가열하는 것과 같은 에너지를 방출하려면 약 4,34{,}3톤을 10미터 낙하시켜야 한다. 이는 매우 큰 값이며 온수 가열이 가정 에너지 소비에서 큰 비중을 차지하는 이유를 보여 준다. 물의 비열도 일반 금속보다 매우 커서, 예를 들어 구리의 약 10배이다(다음 연습문제 참조).

6. 응축은 기화의 역과정이며, 수증기는 앞유리에 잠열을 방출한다.

Qrel=mvLv.Q_{\text{rel}}=m_vL_v.

mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}이면

Qrel=1,0×10−2×2,45×106=2,45×104 J.Q_{\text{rel}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}45\times10^6 =2{,}45\times10^4\,\text{J}.

따라서 적은 양의 수증기가 응축해도 무시할 수 없는 열을 방출하며, 앞유리와 주변이 이를 흡수한다.