풀이가 있는 열역학 연습문제

등온 대기와 화학 퍼텐셜

연습문제 41 · 단원 8 — 변화의 방향, 평형과 안정성

문제

고도 $z$ 에 있는 공기 1몰에 대해 일반화된 화학 퍼텐셜이

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z

로 주어진다. $M$ 은 공기의 몰 질량이다. 대기는 등온이라고 가정한다.

평형에서 $μ$ 가 $z$ 와 무관해야 하는 이유를 설명하라.
이로부터 $P (z)$ 가 만족하는 미분 방정식을 구하고, 이어서 기압 공식을 구하라.
$h = 8, 85 km$ , $T = 260 K$ , $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ , $g = 9, 81 m s^{- 2}$ 일 때 $P (h) / P (0)$ 을 어림하라.
이 모형의 중요한 한계 하나를 제시하라.

힌트

평형에서는 소량의 물질을 한 고도에서 다른 고도로 옮겨도 자유 에너지가 1차에서 변하지 않아야 한다.

풀이

1. 어떤 고도에서

μ

가 다른 고도에서보다 크다면, 퍼텐셜이 더 낮은 영역으로 물질이 이동하여 자유 에너지가 줄어들 것이다. 따라서 평형은

d μ = 0

을 요구한다. 2. 온도가 일정하므로

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

따라서 $d P / P = - (M g / R T) d z$ 이다. $0$ 에서 $z$ 까지 적분하면

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

이므로

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

3. SI 단위로 몰 질량은 $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ 이다. 지수는

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

따라서 $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ 이다.

4. 실제 대기의 온도는 고도에 따라 변한다. 등온 모형은 쓸모 있는 크기 차수를 주지만 정확한 분포를 주지는 않는다. 또한 습도와 조성의 변화도 무시한다.