問題

数値データ（大気圧下）：

\begin{aligned} c_{\text{ice}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\text{water}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

大気圧下で，初期温度 $-20\,{}^\circ\text{C}$ の氷1キログラムを段階的に加熱する。

氷を $-20\,{}^\circ\text{C}$ から $0\,{}^\circ\text{C}$ まで加熱するのに必要なエネルギーを求めよ。
$0\,{}^\circ\text{C}$ で氷を完全に融解させるのに必要なエネルギーを求めよ。
液体の水を $0\,{}^\circ\text{C}$ から $100\,{}^\circ\text{C}$ まで加熱するのに必要なエネルギーを求めよ。
$100\,{}^\circ\text{C}$ で水を完全に気化させるために追加で必要なエネルギーを求めよ。
どの段階が最も多くのエネルギーを必要とするか。1キログラムの水を $0\,{}^\circ\text{C}$ から $100\,{}^\circ\text{C}$ まで加熱するエネルギーと，質量 $m$ が10メートル落下するときの重力位置エネルギーを比較せよ。同じエネルギーを放出するには，どれだけの質量を落下させればよいか。
逆過程を考える。質量 $m_v$ の水蒸気がフロントガラス上で凝縮し，得られた液体の水はその後冷却しないものとする。凝縮で放出される熱量 $Q_{\text{rel}}$ を表し， $m_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}$ の場合を計算せよ。

ヒント

相転移を伴わない加熱には

Q=mc\Delta T

，一定温度での相転移には

Q=mL

を用いる。高さ

h

にある質量

m

の重力位置エネルギーは

E_p=mgh

であり，

g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}

とする。

詳しい解答

解答

1. 氷を融点まで加熱するには

Q_1=mc_{\text{ice}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times20=4{,}2\times10^4\,\text{J}.

2. 融解中，温度は $0\,{}^\circ\text{C}$ のままである：

Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5=3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3. 液体の水を加熱するには

Q_3=mc_{\text{water}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100=4{,}18\times10^5\,\text{J}.

4. 完全な気化にはさらに

Q_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6=2{,}26\times10^6\,\text{J}

が必要である。この段階だけで数メガジュールのエネルギーを要する。

5. 気化が圧倒的に最も多くのエネルギーを要する：

Q_4=2{,}26\times10^6>Q_3=4{,}18\times10^5>Q_2=3{,}34\times10^5>Q_1=4{,}2\times10^4\,\text{J}.

気化には，液体の水を $0$ から $100\,{}^\circ\text{C}$ まで加熱する場合の約 $(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4$ 倍のエネルギーが必要である。

h=10\,\text{m}

から落下する質量

m

について

E_p=mgh

である。

mgh=Q_3

とおけば

m=\frac{Q_3}{gh}=\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

したがって，1キログラムの水を $0$ から $100\,{}^\circ\text{C}$ まで加熱するのと同じエネルギーを放出するには，約 $4{,}3$ トンの質量を10メートル落下させる必要がある。これは非常に大きく，給湯が家庭のエネルギー消費の大きな割合を占める理由を示している。また水の比熱容量は一般的な金属に比べて大きく，例えば銅の約10倍である（後の演習を参照）。

6. 凝縮は気化の逆過程であり，蒸気はガラスに潜熱を放出する：

Q_{\text{rel}}=m_vL_v.

$m_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}$ のとき，

Q_{\text{rel}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}26\times10^6 =2{,}26\times10^4\,\text{J}.

少量の蒸気の凝縮でも無視できない熱量を放出し，それをフロントガラスと周囲が受け取る。