Esercizio svolto di termodinamica

Una sfera carica e la questione dell'estensività

Esercizio 16 · Lezione 4 — Il primo principio della termodinamica

interazione coulombiana
energia elettrostatica
estensività
neutralità elettrica

Testo

Una carica totale $Q > 0$ è distribuita uniformemente nel volume di una sfera di raggio $R$ , nel vuoto. Dei vincoli mantengono questa distribuzione; qui si considera soltanto la sua energia elettrostatica $U_{el}$ . Non si tratta di una sfera conduttrice, nella quale le cariche all'equilibrio si disporrebbero sulla superficie.

Si assembla la distribuzione portando gusci carichi dall'infinito. Per una carica già assemblata $Q (r)$ in una sfera di raggio $r$ , il potenziale sulla superficie vale $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ , dove $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ . L'energia è nulla per elementi di carica infinitamente separati.

Disegnare una fase dell'assemblaggio. Esprimere $Q (r)$ e $d Q$ in funzione di $Q, R, r$ e $d r$ , poi calcolare $U_{el}$ .
In un modello continuo di $N$ costituenti con la stessa carica $q_{0}$ , si pone $Q = N q_{0}$ . A densità di particelle fissata, scrivere $R = r_{0} N^{1/3}$ e determinare come l'energia dipende da $N$ . Confrontarne il segno e il grado di omogeneità con quelli della gravitazione.
A carica totale fissata, calcolare la variazione di energia in una dilatazione da $R_{A}$ a $R_{B} > R_{A}$ . Qual è il segno del lavoro esterno ricevuto se questa dilatazione è quasistatica e senza dissipazione? L'espressione di questo lavoro rappresenta soltanto il contributo elettrico.
Per cariche di segno diverso, l'energia di interazione microscopica si scrive $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} .$
Perché la legge ottenuta per una sfera con carica di un solo segno non dimostra che tutta la materia ordinaria è non estensiva? Una carica totale nulla basta ad annullare questa somma?

Suggerimento

Usare

d U_{el} = Φ (r) d Q

. La costruzione per gusci conta ogni coppia una volta. Per l'ultima domanda, esaminare una semplice coppia di cariche

+ q_{0}

- q_{0}

separate da una distanza

a

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. Lo schema rappresenta la sfera già carica, di raggio

r

, e il guscio aggiunto, di spessore

d r

. La densità volumica di carica, costante, vale

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

. Di conseguenza,

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

La variazione di energia dovuta all'aggiunta è

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Sommando i contributi dal centro fino alla superficie,

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

L'interazione di ogni coppia di strati è contata una sola volta; non è necessario alcun fattore $1/2$ aggiuntivo. Il risultato è positivo: per assemblare le cariche bisogna vincere la repulsione. Il prodotto $k_{e} Q^{2} / R$ si esprime in joule.

Domanda 2. A densità di particelle

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

fissata, si ha

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

. Sostituendo,

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

Questa energia è di grado $5/3$ , quindi non estensiva. L'energia per particella cresce come $N^{2/3}$ . Il grado è lo stesso della sfera gravitazionale perché entrambi i potenziali decrescono come $1/ r$ ; il segno è opposto, poiché cariche dello stesso segno si respingono. Il modello continuo descrive il contributo collettivo, senza contare le autoenergie delle cariche puntiformi.

Domanda 3. A

Q

fissata, la differenza vale

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

In un'evoluzione quasistatica senza dissipazione, il contributo elettrico al lavoro ricevuto è la variazione di energia potenziale. Lo si può verificare anche per integrazione:

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

L'agente esterno trattiene le cariche che si respingono e riceve lavoro durante la dilatazione. Questo bilancio elettrico non include alcun altro immagazzinamento di energia nel dispositivo di contenimento.

Domanda 4. Per cariche dello stesso segno, tutti i prodotti

q_{i} q_{j}

sono positivi: i loro contributi si sommano. Nella materia elettricamente neutra, invece, esistono contributi attrattivi e repulsivi che possono compensarsi a grande distanza. La neutralità e, nei mezzi in cui interviene, lo schermaggio modificano così il ragionamento basato sulla somma di termini tutti dello stesso segno. La neutralità totale non significa tuttavia

U_{el} = 0

. Due cariche

+ q_{0}

- q_{0}

separate da

a

hanno carica totale nulla ma un'energia di interazione

- k_{e} q_{0}^{2} / a

, non nulla. Per stabilire una legge di scala occorre conoscere l'organizzazione e le correlazioni tra le cariche. Il calcolo della sfera uniformemente carica non costituisce quindi né una prova della non estensività di tutta la materia, né una prova dell'estensività dei sistemi neutri.