Esercizio svolto di termodinamica

Assemblare una sfera gravitazionale uniforme

Esercizio 15 · Lezione 4 — Il primo principio della termodinamica

gravitazione
energia di interazione
sfera uniforme
estensività
lungo raggio

Testo

Una sfera di raggio $R$ contiene una massa $M$ distribuita uniformemente, con densità $ρ_{m}$ . Si vuole calcolare la sua energia potenziale gravitazionale $U_{grav}$ , ponendola uguale a zero quando i suoi elementi di massa sono infinitamente lontani.

Si immagina di assemblare la sfera per strati concentrici, mantenendo la stessa densità. Nella fase in cui il raggio raggiunge $r$ , la massa già assemblata è $M (r)$ e si porta dall'infinito un guscio di massa $d M$ . Si ammette che il potenziale generato sulla sua superficie dalla massa interna valga $- GM (r) / r$ . Il calcolo riguarda soltanto l'energia gravitazionale; non si suppone alcun equilibrio meccanico della sfera.

Disegnare la sfera già assemblata e il guscio aggiunto tra $r$ e $r + d r$ . Esprimere $ρ_{m}$ , $M (r)$ e $d M$ in funzione di $M, R, r$ e $d r$ .
Esprimere l'energia di interazione del guscio con la sfera interna, poi integrare per ottenere $U_{grav}$ . Occorre dividere il risultato per due?
La sfera contiene $N$ costituenti di massa $m$ , con $M = N m$ . A densità $ρ_{m}$ fissata, esprimere $R$ in funzione di $N$ , poi determinare come $U_{grav}$ e $U_{grav} / N$ dipendono da $N$ .
Confrontare l'energia di una sfera di $2 N$ costituenti con la somma delle energie di due sfere di $N$ costituenti ciascuna, infinitamente lontane, tutte con la stessa densità. Commentare il segno della differenza e l'estensività.

Suggerimento

Il guscio ha volume

4 π r^{2} d r

. La sua energia di interazione con la massa già presente è

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

. Nel conteggio, ogni coppia viene incontrata quando si aggiunge la sua parte esterna.

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. Lo schema mostra una sfera piena di raggio

r

e massa

M (r)

, circondata da uno strato di spessore

d r

; è indicato il raggio finale

R

. L'uniformità della densità dà

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

La massa aggiunta è quindi

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

Domanda 2. Il potenziale gravitazionale è un'energia per unità di massa. Moltiplicandolo per la massa portata, si trova

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

L'integrazione si estende a tutti i raggi di assemblaggio:

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

Ogni interazione tra uno strato nuovo e uno strato interno è contata una sola volta. Non bisogna quindi aggiungere un fattore $1/2$ . L'autoenergia di un guscio infinitesimo è dell'ordine di $(d M)^{2}$ e non contribuisce all'integrale nel limite continuo. Il segno negativo esprime l'attrazione: separare le masse richiede di fornire energia. Infine $G M^{2} / R$ ha proprio l'unità del joule.

Domanda 3. A densità fissata,

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

Sostituendo $M$ e $R$ nell'energia,

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

dove $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ non dipende da $N$ . L'energia per costituente vale quindi $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ . Il suo valore assoluto cresce con le dimensioni del sistema: non resta intensiva.

Domanda 4. La sfera grande ha energia

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

. Per le due sfere infinitamente lontane, l'interazione reciproca è nulla e la somma vale

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

. La differenza è

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

La sfera grande è più legata gravitazionalmente. Questo confronto tra stati non descrive da solo la dinamica della loro riunione. Mostra però che $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ : l'energia gravitazionale non è estensiva. La conservazione dell'energia non è messa in discussione; l'estensività è un'ipotesi aggiuntiva che fallisce per questa interazione a lungo raggio.