Testo

Due blocchi rigidi A e B hanno capacità termiche totali costanti $C_A>0$ e $C_B>0$ . Le temperature iniziali soddisfano $T_{A,0}>T_{B,0}>0$ . Ogni blocco mantiene una temperatura uniforme, che può variare durante gli scambi di calore. Non avvengono cambiamenti di fase.

Una macchina termica opera tra i blocchi senza metterli a contatto diretto. Preleva calore da A, ne trasferisce una parte a B e fornisce lavoro all'esterno. L'insieme blocchi e macchina non scambia calore con l'esterno. La macchina ritorna allo stesso stato dopo ogni ciclo: non accumula né energia né entropia. Cerchiamo il massimo lavoro recuperabile dalla differenza iniziale di temperatura.

Consideriamo il limite di una successione di cicli reversibili infinitesimi. Durante ogni ciclo, le temperature istantanee $T_A$ e $T_B$ variano infinitesimamente. Si usa la convenzione del banchiere: l'energia è positiva quando viene ricevuta dal sistema considerato. Indichiamo con $\delta Q_A$ e $\delta Q_B$ i calori ricevuti dalla macchina rispettivamente da A e B, e con $\delta W$ il lavoro ricevuto dalla macchina. Nel funzionamento motore, $\delta Q_A>0$ , $\delta Q_B<0$ e $\delta W<0$ . I calori ricevuti dai blocchi sono dunque rispettivamente $-\delta Q_A$ e $-\delta Q_B$ .

Scrivere i bilanci energetici dei blocchi e della macchina su un ciclo infinitesimo. Usare il rendimento di Carnot per esprimere $\delta Q_B$ in funzione di $\delta Q_A,T_A,T_B$ . Mostrare che A si raffredda e B si riscalda. Come evolvono la differenza di temperatura e il rendimento nei cicli successivi? In quale condizione cessa la produzione di lavoro?
Stabilire una relazione tra $\mathrm dT_A/T_A$ e $\mathrm dT_B/T_B$ e integrarla a partire dallo stato iniziale. Dedurre la temperatura finale comune $T_r$ . Perché i blocchi non possono essere trattati come termostati alle temperature costanti $T_{A,0}$ e $T_{B,0}$ ?
Calcolare il lavoro totale ricevuto $W_{\mathrm{rev}}$ durante questo funzionamento reversibile, poi il suo valore assoluto $|W_{\mathrm{rev}}|$ , massimo lavoro recuperabile all'esterno. Semplificare $T_r$ e $W_{\mathrm{rev}}$ quando $C_A=C_B=C$ ; esprimere $|W_{\mathrm{rev}}|$ in forma manifestamente positiva.
Applicazione numerica: entrambi i blocchi sono di ferro, ciascuno di massa $m=1{,}0\ \mathrm{kg}$ , inizialmente a $60\,{}^\circ\mathrm C$ per A e $20\,{}^\circ\mathrm C$ per B. Si suppone costante la capacità termica specifica del ferro, $c=450\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ . Calcolare il massimo lavoro recuperabile $|W_{\mathrm{rev}}|$ .

Suggerimento

Su ogni ciclo infinitesimo, il rendimento è

1-T_B/T_A

, usando le temperature istantanee, ed è uguale a

|\delta W|/\delta Q_A

. Per il bilancio globale, applicare

\Delta U=Q+W

all'insieme blocchi e macchina, con

Q=0

e

W<0

.

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. I blocchi sono rigidi e non ricevono lavoro. Le loro variazioni di energia sono quindi i calori ricevuti:

C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.

La macchina ritorna allo stato iniziale. Il bilancio energetico dà $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$ , ossia

\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.

Il rendimento è il rapporto tra il lavoro recuperato e il calore ricevuto da A. Poiché $\delta W<0$ , abbiamo $|\delta W|=-\delta W$ , quindi

\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.

Il blocco A riceve $-\delta Q_A<0$ e il blocco B riceve $-\delta Q_B>0$ . Essendo positive le capacità termiche, $\mathrm dT_A<0$ e $\mathrm dT_B>0$ . La differenza di temperatura diminuisce quindi:

\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.

Il rapporto $T_B/T_A$ aumenta, perché il numeratore aumenta mentre il denominatore diminuisce. Il rendimento $1-T_B/T_A$ diminuisce progressivamente. Quando $T_A=T_B$ , si annulla: la differenza di temperatura è esaurita e nessuna macchina ciclica operante tra questi blocchi può fornire altro lavoro.

Domanda 2. I bilanci dei blocchi danno

\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A

e

\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B

. Sostituiamo nella relazione precedente:

-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.

Cambiando segno e dividendo per $T_B$ ,

C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.

Integriamo dalle temperature iniziali a quelle raggiunte dopo un numero qualsiasi di cicli:

C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.

Una primitiva di $1/T$ è $\ln T$ ; valutando agli estremi,

C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.

Questa relazione esprime la conservazione dell'entropia totale nel funzionamento reversibile. Quando la macchina si ferma, $T_A=T_B=T_r$ . Scrivendo $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$ ,

(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.

Dividendo per $C_A+C_B$ e passando agli esponenziali,

\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}

I blocchi hanno capacità termiche finite: ogni scambio di calore modifica le temperature secondo $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$ , dove $\delta Q_{\mathrm{block}}$ è il calore ricevuto dal blocco considerato. Il rendimento iniziale non vale quindi per tutta l'esperienza. Si possono considerare costanti le temperature solo all'interno di ogni ciclo infinitesimo, usando ogni volta i valori aggiornati.

Domanda 3. L'insieme blocchi e macchina è adiabatico ma fornisce lavoro: non è isolato. Poiché la macchina non accumula energia, il primo principio dà

C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.

Il lavoro ricevuto dall'insieme è quello ricevuto dalla macchina. Raccogliendo i termini,

W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.

Il lavoro recuperato all'esterno è il suo valore assoluto:

\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}

Ogni prodotto $CT$ ha l'unità di un'energia, il joule. Per capire perché la reversibilità dà il massimo, consideriamo una macchina che produce entropia e lascia i blocchi a una temperatura comune $T_*$ . Il bilancio entropico dei blocchi impone

C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.

Sottraendo il bilancio reversibile, che è nullo, rimane $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$ , dunque $T_*\geq T_r$ . Il lavoro ricevuto in questo funzionamento motore è $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$ , quindi

W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.

Pertanto $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$ : il lavoro ricevuto è più negativo nel caso reversibile. Il suo valore assoluto è dunque massimo, $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$ .

Per

C_A=C_B=C

, l'esponente è

1/2

, da cui

T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.

Riconosciamo l'identità $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$ . Il lavoro si annulla se le temperature iniziali sono uguali.

Domanda 4. La capacità termica data è per unità di massa. La capacità termica totale di ogni blocco è quindi

C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Le temperature nelle radici quadrate devono essere espresse in kelvin:

T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.

Sostituendo nel risultato della domanda 3,

|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.

Il massimo lavoro recuperabile è dunque circa $0{,}58\ \mathrm{kJ}$ . Con la convenzione del banchiere, il lavoro ricevuto dalla macchina è $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$ : il segno negativo indica che essa trasferisce questa energia all'esterno.