Esercizio svolto di termodinamica

Traslazione, rotazione e agitazione termica

Esercizio 14 · Lezione 4 — Il primo principio della termodinamica

teorema di König
rotazione
energia cinetica
energia interna
attrito

Testo

Un sistema di $N$ particelle di masse $m_{i}$ ha massa totale $M$ , un centro di massa di posizione $R$ e di velocità $V$ . Si pone $ρ_{i} = r_{i} - R$ e si scompongono le velocità:

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

La velocità angolare globale $ω$ è scelta in modo che il moto residuo non abbia alcun momento angolare globale:

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

Si ammette l'identità $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ , dove $I_{CM}$ è il tensore d'inerzia rispetto al centro di massa.

Sviluppare $E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ e mostrare che i tre termini misti sono nulli. Dedurne la scomposizione in traslazione, rotazione globale e moto residuo.
Nella convenzione in cui traslazione e rotazione globali sono considerate moti macroscopici, quale energia cinetica entra nell'energia interna? Basta porsi nel sistema di riferimento del centro di massa per conservare soltanto l'agitazione termica?
Un disco omogeneo di massa $M$ e raggio $R$ , con asse fisso, ruota inizialmente con velocità angolare $ω_{0}$ . Il suo momento d'inerzia vale $I = M R^{2} /2$ . Un freno lo arresta. Il sistema disco e freno è termicamente isolato; i suoi supporti immobili non forniscono alcun lavoro. Tutta l'energia dissipata resta in questo sistema, di capacità termica totale costante $C$ . Ricavarne la variazione di energia interna e l'aumento di temperatura.
Calcolare l'energia convertita e l'aumento di temperatura per $M = 2, 0 kg$ , $R = 0, 10 m$ , $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ e $C = 500 J K^{- 1}$ . Questa energia ha attraversato il confine del sistema sotto forma di calore?

Suggerimento

Usare

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

e l'identità del prodotto misto

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

. Durante la frenata, si conserva

U + E_{kin}^{macro}

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. La definizione del centro di massa dà

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

. Di conseguenza,

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

Sviluppando ogni quadrato,

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

Il primo termine misto si annulla per la definizione del centro di massa. Il secondo si annulla perché la quantità di moto residua è nulla. Per il terzo, il prodotto misto dà

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

Con l'identità data per il tensore d'inerzia, resta

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

Domanda 2. In questa convenzione, il contributo cinetico all'energia interna è l'ultimo termine, $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ . L'energia interna comprende anche le energie potenziali interne e gli eventuali altri gradi di libertà interni. Porsi nel sistema di riferimento del centro di massa annulla il termine di traslazione, ma lascia il termine di rotazione globale. Un disco che ruota attorno a un asse fisso possiede così un'energia cinetica macroscopica anche se il suo centro di massa è immobile.

Domanda 3. Il calore e il lavoro che attraversano il confine del sistema disco e freno sono nulli. Le forze dei supporti possono trasmettere momento angolare, ma i loro punti di applicazione immobili non trasmettono lavoro. Trascurando ogni altra variazione di energia macroscopica, la conservazione dà

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

Il disco si ferma, quindi $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ . Di conseguenza,

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

Una volta raggiunto l'equilibrio termico interno, il modello a capacità costante dà $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ , ossia

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

Gli attriti convertono un'energia di moto ordinato in energia interna all'interno del sistema.

Domanda 4. Il momento d'inerzia vale

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

. Si ottiene

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

Il sistema si riscalda benché $Q = 0$ : questa energia non ha attraversato il suo confine sotto forma di calore. Era inizialmente presente come energia cinetica di rotazione.