Esercizio svolto di termodinamica

Il lavoro necessario per estendere una lamina di sapone

Esercizio 13 · Lezione 4 — Il primo principio della termodinamica

tensione superficiale
lavoro generalizzato
interfaccia
lamina di sapone

Testo

Una lamina di sapone piana è tesa su un telaio rettangolare, di cui una barretta di lunghezza $ℓ$ può scorrere senza attrito. La distanza $x$ tra questa barretta e il lato opposto del telaio aumenta da $x_{A}$ a $x_{B}$ . La lamina possiede due interfacce aria-liquido, ciascuna con tensione superficiale $γ$ , supposta costante. Si trascurano gli effetti di bordo, il peso e il lavoro delle forze di pressione; il volume di liquido è costante e non viene scambiato liquido. Lo spostamento è abbastanza lento da mantenere l'equilibrio meccanico. Per la creazione di interfaccia, il lavoro ricevuto si scrive $δ W = γ d A$ , dove $A$ è l'area totale delle interfacce.

Disegnare il telaio e la barretta, indicando $x$ , $ℓ$ e il verso della trazione esterna. Esprimere $A (x)$ e poi $d A$ .
Determinare la forza esterna necessaria e calcolare il lavoro ricevuto quando $x$ passa da $x_{A}$ a $x_{B}$ .
Calcolare questa forza e questo lavoro per $γ = 30 mN m^{- 1}$ , $ℓ = 5, 0 cm$ e $x_{B} - x_{A} = 2, 0 cm$ . Quale errore si commetterebbe dimenticando una faccia?
La lamina è mantenuta a temperatura costante da un termostato. La sola conoscenza di $γ$ e della variazione d'area basta a determinare $Δ U$ e $Q$ ?

Suggerimento

Ogni faccia ha area

ℓ x

. Identificare il lavoro

F_{ext} d x

con il lavoro di creazione delle due interfacce. Per l'ultima domanda, distinguere il lavoro ricevuto dall'energia immagazzinata.

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. Si rappresenta il telaio nel piano della lamina, la barretta mobile perpendicolare alla direzione

x

e la trazione esterna nel verso delle

x

crescenti. Ogni faccia ha area

ℓ x

. L'area totale e la sua variazione sono quindi

A = 2 ℓ x, d A = 2 ℓ d x,

poiché $ℓ$ è costante. Le due interfacce sono distinte, anche se nel disegno visto di fronte si sovrappongono.

Domanda 2. Il lavoro ricevuto si può scrivere in due modi:

δ W = F_{ext} d x = γ d A = 2 γ ℓ d x .

Per identificazione si ottiene $F_{ext} = 2 γ ℓ$ . La forza esercitata dalla lamina si oppone a questa trazione. Poiché $γ$ e $ℓ$ sono costanti,

W_{A \to B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} 2 γ ℓ d x = 2 γ ℓ [x]_{x_{A}}^{x_{B}} = 2 γ ℓ (x_{B} - x_{A}) > 0.

Aumentare l'area della lamina richiede un apporto di lavoro.

Domanda 3. In unità SI,

γ = 30 \times 1 0^{- 3} N m^{- 1}

ℓ = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m

x_{B} - x_{A} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} m

. Quindi

F_{ext} = 2 (30 \times 1 0^{- 3}) (5, 0 \times 1 0^{- 2}) = 3, 0 \times 1 0^{- 3} N, W_{A \to B} = (3, 0 \times 1 0^{- 3}) (2, 0 \times 1 0^{- 2}) = 6, 0 \times 1 0^{- 5} J = 60 μ J .

Le unità sono coerenti: $γ ℓ$ è una forza e $γ Δ A$ un'energia. Dimenticare una faccia dimezzerebbe erroneamente la forza e il lavoro.

Domanda 4. Il primo principio impone soltanto

Δ U = Q + γ Δ A .

Il termostato può fornire o ricevere calore per mantenere costante la temperatura. Senza un modello dell'energia interna della lamina, non si conoscono né $Δ U$ né $Q$ . Non si può quindi identificare automaticamente $γ Δ A$ con una variazione di energia interna, né dedurre $Q = 0$ dal fatto che la trasformazione sia isoterma.