Esercizio svolto di termodinamica

Stessa variazione di energia interna, tre modalità di trasferimento

Esercizio 7 · Lezione 4 — Il primo principio della termodinamica

primo principio
energia interna
calore
lavoro meccanico
lavoro elettrico
calorimetria
funzione di stato

Versione di lavoro — questo esercizio è ancora in revisione.

Testo

Un liquido, il suo calorimetro e una piccola resistenza immersa costituiscono un sistema chiuso, macroscopicamente in quiete. Il recipiente è rigido e si suppone costante la capacità termica totale del sistema:

C=2{,}00\ \mathrm{kJ\,K^{-1}}.

Si vuole portare il sistema dallo stato di equilibrio $A$ , a $T_A=20{,}0\,^\circ\mathrm{C}$ , allo stato di equilibrio $B$ , a $T_B=25{,}0\,^\circ\mathrm{C}$ . Si ammette che

U(B)-U(A)=C(T_B-T_A).

Le variazioni di energia cinetica e potenziale macroscopiche sono nulle. Si trascurano tutte le perdite verso l'esterno.

Si realizzano indipendentemente i tre protocolli seguenti, a partire dallo stesso stato iniziale $A$ :

Protocollo 1. Il sistema è posto a contatto termico con una sorgente calda, senza che gli venga fornito alcun lavoro.
Protocollo 2. Le pareti sono termicamente isolate. Una paletta agita il liquido grazie alla caduta di una massa $m$ da un'altezza $h=5{,}00$ m. La paletta e il liquido terminano in quiete, e tutta l'energia meccanica persa dalla massa è trasferita al sistema. Si assuma $g=9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ .
Protocollo 3. Il sistema riceve un calore $Q_3=4{,}00$ kJ e l'energia restante viene fornita elettricamente alla resistenza. La potenza elettrica ricevuta è costante e vale $\mathcal P=300$ W.

Calcolare la variazione di energia interna $\Delta U=U(B)-U(A)$ comune ai tre protocolli.
Per ciascuno dei primi due protocolli, determinare il calore $Q$ e il lavoro $W$ ricevuti dal sistema. Nel secondo, calcolare la massa $m$ necessaria.
Per il terzo protocollo, calcolare il lavoro elettrico ricevuto e la durata dell'alimentazione della resistenza.
Le tre trasformazioni hanno gli stessi stati iniziale e finale. Spiegare perché i loro valori di $Q$ e $W$ possono tuttavia essere diversi. Il sistema contiene «calore» o «lavoro» nello stato finale $B$ ?

Suggerimento

Applicare

\Delta U=Q+W

con la convenzione del banchiere. Per la paletta, il lavoro ricevuto è uguale alla diminuzione

mgh

dell'energia potenziale della massa. L'energia elettrica che attraversa il confine attraverso i fili è conteggiata come lavoro elettrico.

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. La differenza di temperatura vale

T_B-T_A=5{,}0

K. Pertanto,

\Delta U=C(T_B-T_A)=2{,}00\times5{,}0=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

Questo valore dipende soltanto dai due stati di equilibrio $A$ e $B$ .

Domanda 2. Nel primo protocollo non si riceve lavoro: $W_1=0$ . Il primo principio dà quindi

Q_1=\Delta U=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

Il calore è positivo perché l'energia entra nel sistema.

Nel secondo protocollo le pareti sono termicamente isolate, quindi $Q_2=0$ . L'intera variazione di energia interna deriva dal lavoro meccanico della paletta:

W_2=\Delta U=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

Poiché $W_2=mgh$ ,

m=\frac{W_2}{gh}=\frac{10{,}0\times10^3}{9{,}81\times5{,}00}\simeq204\ \mathrm{kg}.

L'elevato ordine di grandezza ricorda che anche un modesto aumento di temperatura corrisponde già a un'importante energia meccanica.

Domanda 3. Il primo principio impone

W_3=\Delta U-Q_3=10{,}0-4{,}00=6{,}00\ \mathrm{kJ}.

Questo lavoro è positivo: l'alimentazione elettrica fornisce energia al sistema. Con $W_3=\mathcal P\,\Delta t$ ,

\Delta t=\frac{W_3}{\mathcal P}=\frac{6{,}00\times10^3}{300}=20{,}0\ \mathrm{s}.

Domanda 4. I tre cammini danno rispettivamente

(Q_1,W_1)=(10{,}0,0)\ \mathrm{kJ},\qquad(Q_2,W_2)=(0,10{,}0)\ \mathrm{kJ},

(Q_3,W_3)=(4{,}00,6{,}00)\ \mathrm{kJ}.

In tutti i casi, la somma $Q+W$ vale $10{,}0$ kJ e produce la stessa variazione $\Delta U$ . L'energia interna è una funzione di stato, mentre calore e lavoro descrivono trasferimenti durante una trasformazione. Nello stato finale $B$ , il sistema possiede energia interna, ma non contiene né «calore» né «lavoro».