Esercizio svolto di termodinamica

Allungare un filo elastico

Esercizio 12 · Lezione 4 — Il primo principio della termodinamica

lavoro generalizzato
filo elastico
trazione
primo principio

Testo

Un filo di lunghezza a riposo $L_{0}$ viene allungato lentamente, senza isteresi, da $L_{A}$ a $L_{B}$ , con $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ . Nell'intervallo considerato, la sua tensione di equilibrio segue la legge

F = K (L - L_{0}),

dove $K > 0$ è una rigidezza costante, indipendente dalla temperatura. In ogni istante la trazione esterna equilibra la tensione del filo. Si adotta il modello di energia interna

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

dove $C$ è una capacità termica totale costante e $T_{⋆}, U_{⋆}$ sono valori di riferimento fissi. Le variazioni di energia cinetica e di energia potenziale gravitazionale sono trascurabili.

Disegnare il filo, il suo punto fisso, l'estremità mobile e la forza di trazione esterna. Scrivere il lavoro elementare ricevuto per una variazione $d L$ , poi calcolare $W_{A \to B}$ .
L'allungamento è isotermo. Calcolare $Δ U$ e il calore $Q_{A \to B}$ ricevuto in questo modello. Una trasformazione isoterma impone in generale $Δ U = 0$ ?
Si riporta il filo da $L_{B}$ a $L_{A}$ seguendo la stessa legge di trazione. Calcolare il lavoro ricevuto in questo ritorno e nell'intero ciclo di andata e ritorno. Perché questo risultato non significa che ogni lavoro sia una funzione di stato?

Suggerimento

Usare

δ W = F_{ext} d L

e integrare la forza variabile. Confrontare poi con la variazione di energia interna data dal modello, usando

Δ U = Q + W

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. Nello schema, l'estremità sinistra è fissa. L'estremità destra è soggetta a una trazione diretta verso destra; il suo spostamento è

d L

. Il lavoro ricevuto dal filo è positivo quando il filo si allunga:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

La forza non è costante. Occorre quindi calcolare

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

La rigidezza si misura in $N m^{- 1}$ : $K (L - L_{0})^{2}$ si esprime quindi in $N m$ , cioè in joule.

Domanda 2. Poiché

T_{B} = T_{A}

, il termine termico non varia. Anche le costanti di riferimento si semplificano, da cui

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

Il primo principio dà allora $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ . In questo modello ideale, il lavoro ricevuto viene immagazzinato come energia elastica. La temperatura resta costante, ma l'energia interna aumenta: una trasformazione isoterma non impone dunque $Δ U = 0$ . Il risultato $Q = 0$ dipende qui dal modello adottato e non si estende a tutti i materiali.

Domanda 3. Scambiare gli estremi di integrazione cambia il segno dell'integrale:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

Il lavoro ricevuto nell'andata e ritorno è quindi nullo: il filo restituisce il lavoro immagazzinato. Qui la legge imposta rende il lavoro uguale alla variazione dell'energia elastica, che è funzione di $L$ . Si tratta di una proprietà di questo modello senza isteresi e di questa famiglia di trasformazioni, non di una proprietà generale dei trasferimenti di lavoro.