Esercizio svolto di termodinamica

Dal ghiaccio freddo all'acqua bollente: ordini di grandezza

Esercizio 1 · Lezione 2 — Storia della termodinamica e della calorimetria

  • calorimetria
  • cambiamento di stato
  • fusione
  • vaporizzazione
  • calore latente
  • ordine di grandezza

Testo

Dati numerici (alla pressione atmosferica):

cghiaccio=2,1×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lf=3,34×105 J ⁣⋅ ⁣kg−1,cacqua=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lv=2,26×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1.\begin{aligned} c_{\text{ghiaccio}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\text{acqua}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

Alla pressione atmosferica si riscalda progressivamente un chilogrammo di ghiaccio, inizialmente a −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C}.

  1. Calcolare l'energia necessaria per portare il ghiaccio da −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C} a 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}.
  2. Calcolare l'energia necessaria per fondere completamente il ghiaccio a 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}.
  3. Calcolare l'energia necessaria per riscaldare l'acqua liquida da 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.
  4. Calcolare l'energia supplementare necessaria per vaporizzare completamente l'acqua a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.
  5. Quale fase richiede più energia? Confrontare l'energia necessaria per riscaldare un chilogrammo d'acqua da 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} con l'energia potenziale di una massa mm che cade da dieci metri di altezza. Quale massa mm deve cadere per liberare la stessa energia?
  6. Consideriamo ora il processo inverso. Una massa mvm_v di vapore acqueo condensa su un parabrezza, senza che l'acqua liquida ottenuta si raffreddi successivamente. Esprimere il calore QlibQ_{\text{lib}} liberato durante la condensazione e calcolarlo per mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}. Alla temperatura del parabrezza si assuma Lv=2,45×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}.

Suggerimento
Per riscaldare una fase senza cambiamento di stato, usare Q=mcΔTQ=mc\Delta T. Per un cambiamento di stato a temperatura costante, usare Q=mLQ=mL. L'energia potenziale gravitazionale di una massa mm posta a un'altezza hh è Ep=mghE_p=mgh; si assuma g=9,81 m ⁣⋅ ⁣s−2g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}.

Soluzione dettagliata

Soluzione
1. Il riscaldamento del ghiaccio fino alla temperatura di fusione richiede

Q1=mcghiaccioΔT=1,0×2,1×103×100=2,1×105 J.Q_1=mc_{\text{ghiaccio}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times100 =2{,}1\times10^5\,\text{J}.

2. Durante la fusione la temperatura rimane a 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}:

Q2=mLf=1,0×3,34×105=3,34×105 J.Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5 =3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3. Per riscaldare l'acqua liquida da 00 a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C},

Q3=mcacquaΔT=1,0×4,18×103×100=4,18×105 J.Q_3=mc_{\text{acqua}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100 =4{,}18\times10^5\,\text{J}.

4. La vaporizzazione completa richiede inoltre

Q4=mLv=1,0×2,26×106=2,26×106 J.Q_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6 =2{,}26\times10^6\,\text{J}.

Questa fase da sola richiede dunque un'energia dell'ordine di alcuni megajoule.

5. La vaporizzazione è di gran lunga la fase più dispendiosa:

Q4=2,26×106 J>Q3=4,18×105 J>Q2=3,34×105 J>Q1=2,1×105 J.Q_4=2{,}26\times10^6\,\text{J} >Q_3=4{,}18\times10^5\,\text{J} >Q_2=3{,}34\times10^5\,\text{J} >Q_1=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

In particolare, la vaporizzazione richiede circa (2,26×106)/(4,18×105)≈5,4(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4 volte più energia del riscaldamento dell'acqua liquida da 00 a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.

Per una massa mm che cade da un'altezza h=10 mh=10\,\text{m}, Ep=mghE_p=mgh. Ponendo mgh=Q3mgh=Q_3 si ottiene

m=Q3gh=4,18×1059,81×10≈4,26×103 kg.m=\frac{Q_3}{gh} =\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

Occorrerebbe quindi far cadere da dieci metri una massa di circa 4,34{,}3 tonnellate per liberare tanta energia quanta ne serve per riscaldare un chilogrammo d'acqua da 00 a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}! È una quantità enorme e spiega perché il riscaldamento dell'acqua rappresenta una parte importante del consumo energetico domestico. L'acqua ha inoltre una capacità termica massica molto elevata rispetto ai metalli comuni: è, per esempio, circa dieci volte quella del rame (si vedano gli esercizi seguenti).

6. La condensazione è il processo inverso della vaporizzazione: il vapore cede al parabrezza il calore latente

Qlib=mvLv.Q_{\text{lib}}=m_vL_v.

Per mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg},

Qlib=1,0×10−2×2,45×106=2,45×104 J.Q_{\text{lib}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}45\times10^6 =2{,}45\times10^4\,\text{J}.

La condensazione di una piccola massa di vapore può quindi liberare una quantità di calore non trascurabile, assorbita dal parabrezza e dall'ambiente circostante.