Esercizio svolto di termodinamica

Atmosfera isoterma e potenziale chimico

Esercizio 41 · Lezione 8 — Verso delle evoluzioni, equilibrio e stabilità

potenziale chimico
atmosfera
legge barometrica
gravità
gas perfetto

Testo

Per una mole d'aria alla quota $z$ , è dato il potenziale chimico generalizzato

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z,

dove $M$ è la massa molare dell'aria. Si suppone l'atmosfera isoterma.

Spiegare perché all'equilibrio $μ$ deve essere indipendente da $z$ .
Dedurne l'equazione differenziale soddisfatta da $P (z)$ , poi la legge barometrica.
Stimare $P (h) / P (0)$ per $h = 8, 85 km$ , $T = 260 K$ , $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ e $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .
Indicare un limite importante di questo modello.

Suggerimento

All'equilibrio, spostare una piccola quantità di materia da una quota a un'altra non deve modificare l'energia libera al primo ordine.

Soluzione dettagliata

Soluzione

1. Se

μ

fosse più grande a una quota che a un'altra, un trasferimento di materia verso la regione a potenziale più basso diminuirebbe l'energia libera. L'equilibrio impone quindi

d μ = 0

. 2. A temperatura costante,

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

Quindi $d P / P = - (M g / R T) d z$ . Integrando da $0$ a $z$ ,

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

da cui

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

3. In unità SI la massa molare vale $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ . L'esponente è

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

Quindi $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ .

4. La temperatura reale dell'atmosfera varia con la quota. Il modello isotermo fornisce un utile ordine di grandezza, ma non un profilo preciso; trascura inoltre l'umidità e la variazione di composizione.