Siklus Carnot: energi dan entropi pada setiap cabang

Pertanyaan 1. Diagram menunjukkan $AB$ dan $CD$ sebagai adiabat, $BC$ pada isoterm panas, dan $DA$ pada isoterm dingin. Siklus dilalui searah jarum jam. Pada adiabat $AB$, hukum Laplace memberikan

$$T_{\mathrm{C}}V_A^{\gamma-1}=T_{\mathrm{H}}V_B^{\gamma-1},\qquad \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Dengan memangkatkan sebesar $1/(\gamma-1)$ dan menetapkan $b=(T_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{C}})^{1/(\gamma-1)}$, diperoleh $V_A=bV_B$. Demikian pula pada $CD$,

$$T_{\mathrm{H}}V_C^{\gamma-1}=T_{\mathrm{C}}V_D^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad V_D=bV_C=brV_B.$$

Jadi $V_D/V_A=(brV_B)/(bV_B)=r$: kedua isoterm memiliki rasio volume yang sama, dilalui dalam arah berlawanan.

Pertanyaan 2. Pada setiap adiabat reversibel, $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$ dan $\mathrm dS=\delta Q_{\mathrm{rev}}/T=0$:

$$Q_{AB}=Q_{CD}=0,\qquad \Delta S_{AB}=\Delta S_{CD}=0.$$

Pada isoterm gas ideal, $\mathrm dU=0$, sehingga $\delta Q_{\mathrm{rev}}=P\,\mathrm dV=nRT\,\mathrm dV/V$. Untuk ekspansi panas,

$$\begin{aligned} Q_{BC}&=nRT_{\mathrm{H}}\int_{V_B}^{rV_B}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{H}}[\ln V]_{V_B}^{rV_B}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r>0,\\ \Delta S_{BC}&=\frac{Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=nR\ln r. \end{aligned}$$

Untuk kompresi dingin, $V_A/V_D=1/r$:

$$\begin{aligned} Q_{DA}&=nRT_{\mathrm{C}}\int_{V_D}^{V_A}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{C}}[\ln V]_{V_D}^{V_A}\\ &=nRT_{\mathrm{C}}\ln\frac{V_A}{V_D}=-nRT_{\mathrm{C}}\ln r<0,\\ \Delta S_{DA}&=\frac{Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=-nR\ln r. \end{aligned}$$

Dalam diagram $(S,T)$, entropi tetap pada $AB$ dan $CD$: cabang-cabang ini vertikal. Isoterm $BC$ dan $DA$ horizontal. Dengan memilih $S_A$ sebagai acuan relatif, koordinatnya adalah

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|cc} \text{Keadaan}&S-S_A&T\\ \hline A&0&T_{\mathrm{C}}\\ B&0&T_{\mathrm{H}}\\ C&nR\ln r&T_{\mathrm{H}}\\ D&nR\ln r&T_{\mathrm{C}} \end{array} \end{aligned}$$

Diperoleh persegi panjang searah jarum jam, dengan lebar $nR\ln r$ dan tinggi $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$.

Pertanyaan 3. Dalam satu siklus, $\Delta U=0$. Dengan energi yang diterima dihitung positif, hukum pertama memberikan

$$W=-(Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CD}+Q_{DA}) =-nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r<0.$$

Kerja yang diberikan adalah $-W>0$ dan kalor yang diterima dari sumber panas $Q_{BC}>0$. Jadi efisiensinya

$$\eta=\frac{-W}{Q_{BC}} =\frac{nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r}{nRT_{\mathrm{H}}\ln r} =\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Setiap sumber menerima kalor berlawanan tanda dengan yang diberikannya kepada gas:

$$\Delta S_{\mathrm{th,H}}=\frac{-Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=-nR\ln r,\qquad \Delta S_{\mathrm{th,C}}=\frac{-Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=nR\ln r.$$

Gas kembali ke keadaan awal, sehingga $\Delta S_{\mathrm{gas}}=0$. Jumlah ketiga perubahan nol: tidak ada produksi entropi. Kerja yang diberikan ke luar tidak membawa entropi.

Pertanyaan 4. Pertahankan konvensi energi diterima positif untuk mesin: $Q_{\mathrm{H}}>0$ adalah kalor yang diterima dari sumber panas, $Q_{\mathrm{C}}<0$ dari sumber dingin, dan $W<0$ kerja yang diterima per siklus. Sumber menerima kalor berlawanan tanda, $-Q_{\mathrm{H}}$ dan $-Q_{\mathrm{C}}$. Perubahan total entropinya adalah entropi yang dihasilkan, karena mesin kembali ke keadaan awal dan lingkungan hanya menerima kerja:

$$S_{\mathrm{i}}=-\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Mengalikan dengan $T_{\mathrm{C}}$ lalu mengisolasi $Q_{\mathrm{C}}$,

$$T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}, \qquad Q_{\mathrm{C}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}.$$

Hukum pertama memberikan $0=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W$. Kerja yang diperoleh di luar adalah $|W|=-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, sehingga

$$\eta=\frac{|W|}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}} =1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

Karena $T_{\mathrm{C}}>0$ dan $Q_{\mathrm{H}}>0$, produksi entropi positif menurunkan efisiensi.

Pertanyaan 5. Kalor yang diterima dari sumber panas sama bagi kedua mesin. Dari pertanyaan 2,

$$Q_{\mathrm{H}}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r=1{,}0\times8{,}314\times500\times\ln3{,}4 \simeq5087\ \mathrm J.$$

Efisiensi mesin reversibel adalah

$$\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}} =1-\frac{300}{500}=0{,}40=40\,\%.$$

Pertanyaan 4 memberikan selisih kedua efisiensi:

$$\Delta\eta=\eta_{\mathrm{Carnot}}-\eta_{\mathrm{irr}} =\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}} \simeq\frac{300\times2{,}0}{5087}=0{,}118.$$

Pembilang $T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=600\ \mathrm J$ adalah energi, jadi rasionya tak berdimensi. Penurunannya $100\Delta\eta\simeq11{,}8$ poin persentase. Dengan demikian,

$$\eta_{\mathrm{irr}}=0{,}40-0{,}118\simeq0{,}282=28{,}2\,\%.$$

Efisiensi turun dari $40\,\%$ ke $28{,}2\,\%$; penurunan $11{,}8$ poin tidak berarti penurunan relatif $11{,}8\,\%$.