Dua gas dipisahkan oleh sekat internal

Pertanyaan 1. Diagram memperlihatkan bejana kaku bervolume total $2V$ yang dibagi sekat. Di kiri: $(n_1,T_1,V,P_0)$; di kanan: $(3n_1,T_1/2,V,P_{2,i})$. Dinding luar adiabatik. Dengan sekat internal tetap, kedap, dan adiabatik, tidak ada pertukaran yang diperbolehkan: setiap gas mempertahankan keadaannya meskipun suhu dan tekanan berbeda. Penahan sekat menanggung perbedaan tekanan.

Pertanyaan 2 — Perhitungan simbolis. Persamaan gas ideal memberikan

$$P_{1,i}=\frac{n_1RT_1}{V}=P_0, \qquad P_{2,i}=\frac{3n_1R(T_1/2)}{V}=\frac32P_0.$$

Pertanyaan 3 — Sekat tetap diatermal. Pada perpindahan energi kecil dengan $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$, volume tetap: untuk setiap gas, $\mathrm dS_j=\mathrm dU_j/T_j$. Menjumlahkan,

$$\mathrm dS_{\mathrm{tot}}=\frac{\mathrm dU_1}{T_1} +\frac{\mathrm dU_2}{T_2} =\frac{\mathrm dU_1}{T_1}-\frac{\mathrm dU_1}{T_2}.$$

Suhu dalam variasi ini adalah suhu keadaan yang ditinjau. Dengan memfaktorkan,

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1.$$

Pada kesetimbangan, entropi maksimum; koefisien $\mathrm{d}U_1$ harus nol, sehingga $T_{1,f}=T_{2,f}=T_f$. Kekekalan energi memberikan

$$n_1\frac32R(T_f-T_1) +3n_1\frac32R\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0,$$

Membagi neraca energi dengan $(3/2)n_1R$ menghasilkan

$$(T_f-T_1)+3\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0, \quad 4T_f-\frac52T_1=0, \quad T_f=\frac58T_1.$$

Lalu $P_{1,f}=n_1RT_f/V=(T_f/T_1)P_0$ dan $P_{2,f}=3n_1RT_f/V=3(T_f/T_1)P_0$, sehingga

$$T_f=\frac58T_1, \qquad P_{1,f}=\frac58P_0, \qquad P_{2,f}=\frac{15}{8}P_0.$$

Sekat tetap, jadi kesetimbangan mekanis tidak diperlukan: tekanan akhir boleh berbeda.

Pertanyaan 4 — Neraca entropi. Gas 2 hanya menerima energi dalam bentuk kalor:

$$Q_{1\to2}=\Delta U_2 =3n_1\frac32R\left(\frac58T_1-\frac12T_1\right) =\frac9{16}n_1RT_1.$$

Gas 1 menerima kalor berlawanan tanda: $Q_1=-Q_{1\to2}<0$, sedangkan $Q_2=Q_{1\to2}>0$. Sekat tetap, sehingga $W_1=W_2=0$. Seluruh sistem terisolasi, maka $S_{\mathrm{e}}=0$ dan $S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}$. Karena volumenya tetap,

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac{T_f}{T_1} =\frac32n_1R\ln\frac58, \Delta S_2=\frac32(3n_1)R\ln\frac{T_f}{T_1/2} =\frac92n_1R\ln\frac54.$$

Gas 1 kehilangan entropi dan gas 2 memperolehnya. Jumlahnya adalah

$$S_{\mathrm{i}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right) +3\ln\!\left(\frac54\right) \right]>0.$$

Produksi entropi ini menggambarkan perpindahan kalor spontan antara gas yang mula-mula bersuhu berbeda. Untuk memeriksa tanda tanpa nilai numerik, gabungkan logaritma:

$$\ln\frac58+3\ln\frac54 =\ln\left[\frac58\left(\frac54\right)^3\right] =\ln\frac{625}{512}>0.$$

Pertanyaan 5 — Sekat bergerak diatermal. Dengan $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ dan $\mathrm{d}V_2=-\mathrm{d}V_1$,

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1 +\left(\frac{P_1}{T_1}-\frac{P_2}{T_2}\right)\mathrm{d}V_1.$$

Sekat memungkinkan redistribusi energi dan volume secara independen. Stasioneritas harus berlaku untuk sembarang $\mathrm dU_1$ dan $\mathrm dV_1$, sehingga kedua koefisien nol. Yang pertama mengharuskan $T_{1,f}=T_{2,f}$; yang kedua kemudian memberikan $P_{1,f}/T_f=P_{2,f}/T_f$, yakni $P_{1,f}=P_{2,f}$. Kekekalan energi masih memberikan $T_f=5T_1/8$. Pada tekanan dan suhu sama, volume sebanding dengan jumlah zat. Karena jumlah volumenya $2V$,

$$\frac{V_{2,f}}{V_{1,f}}=\frac{3n_1RT_f/P_f}{n_1RT_f/P_f}=3, \qquad V_{1,f}+3V_{1,f}=2V.$$

Maka $V_{1,f}=V/2$ dan $V_{2,f}=3V/2$. Tekanan bersama diperoleh melalui $P_f=n_1R(5T_1/8)/(V/2)=(5/4)P_0$, yaitu

$$V_{1,f}=\frac V2, \qquad V_{2,f}=\frac{3V}{2}, \qquad P_f=\frac54P_0.$$

Perubahan energi dalam sama seperti untuk sekat tetap, tetapi di sini energi dipertukarkan sebagai kalor dan kerja. Neraca entropi memuat suku suhu yang sama seperti pertanyaan 4, ditambah suku volume:

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac58+n_1R\ln\frac{V/2}{V}, \Delta S_2=\frac92n_1R\ln\frac54+3n_1R\ln\frac{3V/2}{V}.$$

Menjumlahkan, diperoleh

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right)+3\ln\!\left(\frac54\right) \right] +n_1R\left[ \ln\!\left(\frac12\right)+3\ln\!\left(\frac32\right) \right]>0.$$

Tambahan dibanding sekat tetap adalah

$$n_1R\left[\ln\frac12+3\ln\frac32\right] =n_1R\ln\left[\frac12\left(\frac32\right)^3\right] =n_1R\ln\frac{27}{16}>0.$$

Jadi kebebasan gerak sekat meningkatkan entropi akhir yang dapat dicapai.