Soal

Dua balok kaku A dan B memiliki kapasitas kalor total konstan $C_A>0$ dan $C_B>0$ . Suhu awalnya adalah $T_{A,0}>T_{B,0}>0$ . Suhu setiap balok tetap seragam, tetapi dapat berubah saat bertukar kalor. Tidak terjadi perubahan fase.

Mesin kalor dijalankan di antara kedua balok tanpa mempertemukannya secara langsung. Mesin mengambil kalor dari A, memberikan sebagian kepada B, dan memberikan kerja ke luar. Gabungan «balok + mesin» tidak bertukar kalor dengan lingkungan. Mesin kembali ke keadaan yang sama setiap akhir siklus, tanpa mengakumulasi energi atau entropi. Dicari kerja maksimum yang dapat diperoleh dengan memanfaatkan selisih suhu awal.

Untuk itu ditinjau limit rangkaian siklus reversibel infinitesimal. Dalam setiap siklus, suhu sesaat $T_A$ dan $T_B$ berubah infinitesimal. Digunakan konvensi energi positif bila diterima sistem yang ditinjau. $\delta Q_A$ dan $\delta Q_B$ menyatakan kalor yang diterima mesin masing-masing dari A dan B, dan $\delta W$ kerja yang diterima mesin. Dalam operasi sebagai mesin penghasil kerja, $\delta Q_A>0$ , $\delta Q_B<0$ dan $\delta W<0$ . Jadi kalor yang diterima balok masing-masing adalah $-\delta Q_A$ dan $-\delta Q_B$ .

Tuliskan neraca energi balok dan mesin selama siklus infinitesimal. Gunakan efisiensi Carnot untuk menyatakan $\delta Q_B$ dalam $\delta Q_A,T_A,T_B$ . Tunjukkan bahwa A mendingin dan B memanas. Bagaimana selisih suhu dan efisiensi berubah sepanjang siklus-siklus berikutnya? Pada kondisi apa kerja tidak lagi dapat dihasilkan?
Turunkan hubungan antara $\mathrm dT_A/T_A$ dan $\mathrm dT_B/T_B$ , lalu integralkan dari keadaan awal. Tentukan suhu akhir bersama $T_r$ . Mengapa kedua balok tidak dapat diperlakukan sebagai reservoir pada suhu konstan $T_{A,0}$ dan $T_{B,0}$ ?
Hitung kerja total yang diterima $W_{\mathrm{rev}}$ selama operasi reversibel, lalu nilai mutlaknya $|W_{\mathrm{rev}}|$ , yaitu kerja maksimum yang dapat diperoleh di luar. Sederhanakan $T_r$ dan $W_{\mathrm{rev}}$ saat $C_A=C_B=C$ ; tuliskan $|W_{\mathrm{rev}}|$ dalam bentuk yang jelas positif.
Perhitungan numerik: kedua balok dari besi, masing-masing bermassa $m=1{,}0\ \mathrm{kg}$ , mula-mula pada $60\,{}^\circ\mathrm C$ untuk A dan $20\,{}^\circ\mathrm C$ untuk B. Gunakan kalor jenis besi konstan $c=450\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ . Hitung kerja maksimum yang dapat diperoleh $|W_{\mathrm{rev}}|$ .

Petunjuk

Dalam setiap siklus infinitesimal, efisiensi adalah

1-T_B/T_A

dengan suhu saat itu, dan ditulis

|\delta W|/\delta Q_A

. Untuk neraca keseluruhan, terapkan

\Delta U=Q+W

pada «balok + mesin», dengan

Q=0

dan

W<0

.

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Balok tidak berubah bentuk dan tidak menerima kerja. Perubahan energinya sama dengan kalor yang diterima:

C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.

Mesin kembali ke keadaan awal. Neraca energinya memberikan $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$ , yaitu

\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.

Efisiensi adalah rasio kerja yang diperoleh terhadap kalor yang diterima dari A. Karena $\delta W<0$ , berlaku $|\delta W|=-\delta W$ , sehingga

\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.

Balok A menerima $-\delta Q_A<0$ dan balok B menerima $-\delta Q_B>0$ . Kapasitas kalor positif, maka $\mathrm dT_A<0$ dan $\mathrm dT_B>0$ . Selisih suhu menurun:

\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.

Rasio $T_B/T_A$ meningkat karena pembilang meningkat dan penyebut menurun. Efisiensi $1-T_B/T_A$ turun bertahap. Ketika $T_A=T_B$ , efisiensi nol: selisih suhu habis dan tidak ada mesin siklik antara kedua balok yang dapat terus memberikan kerja.

Pertanyaan 2. Neraca balok memberikan

\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A

dan

\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B

. Masukkan ke hubungan sebelumnya:

-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.

Mengubah tanda, lalu membagi dengan $T_B$ ,

C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.

Integralkan dari suhu awal hingga suhu setelah sejumlah siklus sembarang:

C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.

Antiturunan $1/T$ adalah $\ln T$ ; evaluasi pada batas memberikan

C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.

Hubungan ini menyatakan kekekalan entropi total dalam operasi reversibel. Saat berhenti, $T_A=T_B=T_r$ . Dengan menulis $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$ ,

(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.

Pembagian dengan $C_A+C_B$ lalu eksponensiasi memberikan

\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}

Kapasitas kalor balok terbatas: setiap kalor yang dipertukarkan mengubah suhunya menurut $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$ , dengan $\delta Q_{\mathrm{block}}$ kalor yang diterima balok terkait. Efisiensi awal karena itu tidak berlaku sepanjang percobaan. Pendekatan suhu konstan hanya berlaku dalam setiap siklus infinitesimal, dengan suhu baru setiap kali.

Pertanyaan 3. Gabungan «balok + mesin» adiabatik tetapi memberikan kerja, sehingga tidak terisolasi. Mesin tidak menyimpan energi, maka hukum pertama memberikan

C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.

Kerja yang diterima gabungan adalah kerja yang diterima mesin. Dengan mengelompokkan suku,

W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.

Kerja yang diperoleh di luar adalah nilai mutlaknya:

\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}

Setiap hasil kali $CT$ memiliki satuan energi, joule. Untuk memahami mengapa reversibilitas memberikan maksimum, tinjau mesin yang menghasilkan entropi dan mencapai suhu bersama $T_*$ . Neraca entropi balok mengharuskan

C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.

Kurangkan neraca reversibel yang sama dengan nol, sehingga tersisa $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$ , maka $T_*\geq T_r$ . Kerja yang diterima dalam operasi penghasil kerja ini adalah $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$ , sehingga

W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.

Jadi $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$ : kerja yang diterima paling negatif dalam kasus reversibel. Nilai mutlaknya karena itu maksimum, $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$ .

Untuk

C_A=C_B=C

, pangkatnya

1/2

, sehingga

T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.

Dikenali identitas $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$ . Kerja nol jika suhu awal sama.

Pertanyaan 4. Yang diberikan adalah kalor jenis. Kapasitas kalor total setiap balok adalah

C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Suhu di bawah akar harus dinyatakan dalam kelvin:

T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.

Memasukkan ke hasil pertanyaan 3,

|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.

Jadi kerja maksimum yang dapat diperoleh sekitar $0{,}58\ \mathrm{kJ}$ . Dalam konvensi energi diterima, kerja yang diterima mesin adalah $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$ : tanda negatif menunjukkan bahwa energi ini diberikan ke luar.