Latihan termodinamika dengan pembahasan

Mengubah ukuran sistem

Latihan 7 · Pelajaran 3 — Konsep Dasar

keekstensifan
keintensifan
homogenitas
luas permukaan
analisis dimensi

Soal

Sebuah sistem homogen biasa memiliki massa $m$ , volume $V$ , jumlah partikel $N$ , energi dalam $U$ , suhu $T$ , dan tekanan $P$ . Di sini $U$ diasumsikan ekstensif, dengan mengabaikan interaksi jarak jauh dan efek tepi. Ukuran sistem diubah dengan keadaan intensif tetap: $(m, V, N, U) \mapsto (λm, λV, λ N, λ U)$ , dengan $λ > 0$ , sedangkan $T$ dan $P$ tidak berubah.

Tentukan derajat homogenitas $m / V$ , $V / N$ , $U / N$ , $P V$ , $U^{2} / V$ , dan $V^{1/3}$ . Besaran mana yang ekstensif, intensif, atau bukan keduanya?
Diajukan dua ungkapan untuk suatu energi, $U_{1} = a N k_{B} T$ dan $U_{2} = a N^{2} k_{B} T$ , dengan $a > 0$ tak berdimensi dan tidak bergantung pada ukuran sistem. Periksa dimensinya, lalu tentukan ungkapan mana yang sesuai dengan asumsi keekstensifan. Jelaskan kembali mengapa kedua pemeriksaan ini berbeda.
Untuk bola berjari-jari $R$ , nyatakan luas $A$ sebagai fungsi volume $V$ . Tentukan derajat homogenitas $A$ dan $A / V$ ketika satu bola diperbesar pada kerapatan tetap.
Bandingkan luas sebuah bola bervolume $8 V$ dengan luas total delapan bola terpisah yang masing-masing bervolume $V$ . Jelaskan mengapa “memperbesar suatu benda” dan “menjajarkan salinan-salinannya” tidak memberikan hasil yang sama untuk luas antarmukanya.

Petunjuk

Gantilah setiap besaran dengan nilainya setelah perubahan skala. Faktor yang diperoleh harus berbentuk

λ^{k}

untuk besaran yang homogen berderajat

k

. Untuk bola, mulailah dari

V = 4 π R^{3} /3

dan

A = 4 π R^{2}

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Faktor skala saling dikalikan dalam hasil kali dan saling dibagi dalam hasil bagi. Secara eksplisit diperoleh

\frac{λm}{λV} = \frac{m}{V}, \frac{λV}{λ N} = \frac{V}{N}, \frac{λ U}{λ N} = \frac{U}{N} .

Ketiga rasio ini berderajat $0$ , sehingga bersifat intensif. Selanjutnya,

P (λV) = λ P V, \frac{( λ U ) ^{2}}{λV} = λ \frac{U ^{2}}{V}, (λV)^{1/3} = λ^{1/3} V^{1/3} .

Jadi $P V$ dan $U^{2} / V$ berderajat $1$ , sehingga ekstensif menurut hukum penskalaan yang diberikan; $V^{1/3}$ berderajat $1/3$ , sehingga tidak ekstensif maupun intensif. Derajat homogenitas tidak menentukan satuan: $P V$ dinyatakan dalam joule, sedangkan $U^{2} / V$ dalam $J^{2} m^{- 3}$ .

Pertanyaan 2.

N

adalah bilangan tak berdimensi, dan

k_{B}

dinyatakan dalam

J K^{- 1}

. Karena itu, kedua ungkapan berdimensi energi. Namun,

U_{1} (λ N, T) = λ U_{1} (N, T), U_{2} (λ N, T) = λ^{2} U_{2} (N, T) .

Hanya $U_{1}$ yang sesuai dengan keekstensifan yang diasumsikan. Jadi, suatu rumus dapat memiliki satuan yang benar, tetapi ketergantungannya pada ukuran sistem keliru. Hal ini tidak berarti bahwa setiap energi yang tidak ekstensif terlarang: asumsi yang ditetapkan dalam latihan inilah yang menyingkirkan $U_{2}$ .

Pertanyaan 3. Jari-jari dinyatakan terlebih dahulu, lalu disubstitusikan ke dalam rumus luas:

R = (\frac{3 V}{4 π})^{1/3}, A = 4 π (\frac{3 V}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V^{2/3} .

Jadi $A (λV) = λ^{2/3} A (V)$ : luas berderajat $2/3$ . Dengan membagi dengan $λV$ , diperoleh $A (λV) / (λV) = λ^{- 1/3} A (V) / V$ . Rasio luas terhadap volume berderajat $- 1/3$ dan mengecil ketika bola membesar.

Pertanyaan 4. Untuk bola tunggal,

A (8 V) = 8^{2/3} A (V) = 4 A (V)

. Sebaliknya, delapan bola terpisah memiliki luas total

8 A (V)

. Jadi, luas totalnya dua kali lebih besar. Memperbesar benda yang kompak mempertahankan bentuknya dan mengurangi bobot relatif antarmuka. Penjajaran mempertahankan semua antarmuka dari setiap salinan. Operasi geometris harus dinyatakan dengan jelas ketika mempelajari kontribusi permukaan; kontribusi inilah yang justru diabaikan dalam deskripsi ekstensif volume.