Latihan termodinamika dengan pembahasan

Menghitung variabel independen

Latihan 8 · Pelajaran 3 — Konsep Dasar

persamaan keadaan
derajat kebebasan
kendala
koordinat keadaan

Soal

Keadaan kesetimbangan gas ideal dideskripsikan oleh empat variabel positif $(P, V, T, n)$ yang dihubungkan oleh $P V = n R T$ . Kita mencari dimensi $d = q - r$ himpunan keadaan yang dapat dicapai, dengan $q$ jumlah variabel yang digunakan dan $r$ jumlah hubungan independen.

Tentukan $q$ , $r$ , dan $d$ jika $n$ dapat berubah. Usulkan tiga koordinat independen dan nyatakan variabel keempat.
Ulangi penghitungan untuk jumlah zat tetap $n = n_{0}$ , kemudian jika juga ditetapkan $T = T_{0}$ , dan akhirnya $V = V_{0}$ . Pada setiap tahap, berikan satu pilihan koordinat untuk keadaan yang dapat dicapai.
Seorang mahasiswa menambahkan hubungan $P = n R T / V$ pada $P V = n R T$ dan menghitung dua persamaan keadaan. Jelaskan kesalahannya.
Dua gas ideal dengan jumlah zat tetap $n_{1}, n_{2}$ menempati kompartemen-kompartemen sebuah wadah bervolume total $V_{tot}$ . Keduanya dipisahkan oleh piston diatermal yang dapat bergerak tanpa gesekan dan tanpa gaya luar. Suhu bersama tidak ditetapkan. Pada kesetimbangan, hitung banyaknya hubungan independen antara $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ . Nyatakan volume-volume dan tekanan bersama sebagai fungsi satu koordinat yang tersisa.

Petunjuk

Pertahankan keempat variabel awal untuk ketiga penghitungan pada pertanyaan 2, dan tambahkan satu kendala pada setiap tahap. Untuk piston, gunakan kedua persamaan keadaan, volume total, kesetimbangan termal, dan kesetimbangan mekanis.

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Digunakan

q = 4

variabel dan satu hubungan independen, jadi

r = 1

dan

d = 3

. Kita dapat memilih

(V, T, n)

: variabel yang tersisa adalah

P = n R T / V

. Syarat

V > 0

memungkinkan pembagian ini. Pertanyaan 2. Untuk gas tertutup, hubungannya adalah

P V = n R T

dan

n = n_{0}

, sehingga

r = 2

dan

d = 4 - 2 = 2

. Pasangan

(V, T)

memenuhi syarat, dengan

P = n_{0} R T / V

. Jika sejak awal

n

dikeluarkan dari daftar variabel, diperoleh pula

q = 3

r = 1

, sehingga

d = 2

yang sama. Kendala tambahan

T = T_{0}

menaikkan

r

menjadi

3

dan menghasilkan

d = 1

. Volume

V

cukup untuk memparameterkan keadaan-keadaan itu, karena

P = n_{0} R T_{0} / V

. Akhirnya, penetapan

V = V_{0}

menaikkan

r

menjadi

4

dan menghasilkan

d = 0

: yang tersisa hanya satu keadaan, yaitu pada

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

. Himpunan terakhir ini tidak memerlukan koordinat bebas. Kendala-kendala ini memperkecil himpunan yang dapat dicapai, bukan jumlah variabel yang diperlukan untuk mendeskripsikan gas tanpa kendala. Pertanyaan 3. Karena

V > 0

, bentuk kedua diperoleh dengan membagi bentuk pertama dengan

V

. Setiap keadaan yang memenuhi salah satunya otomatis memenuhi yang lain. Karena itu, hubungan kedua tidak menyingkirkan keadaan tambahan apa pun dan tidak menambah

r

. Yang harus dihitung adalah kendala independen, bukan baris persamaan. Pertanyaan 4. Keenam variabel memenuhi kelima hubungan

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

Misalkan $T = T_{1} = T_{2}$ dan $P = P_{1} = P_{2}$ . Penjumlahan kedua persamaan keadaan menghasilkan

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}} .

Dengan menyubstitusikan hasil ini ke setiap persamaan keadaan,

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot} .

Faktor $R T$ saling menghilangkan pada volume, tetapi tidak pada tekanan. Suhu $T > 0$ tetap bebas dan menentukan semua variabel lain: kelima hubungan itu memang independen dan $d = 6 - 5 = 1$ . Suatu data energi tambahan dapat memilih satu keadaan tertentu; data semacam itu tidak ditetapkan di sini.