Latihan termodinamika dengan pembahasan

Mengintegralkan bentuk diferensial sepanjang suatu lintasan

Latihan 6 · Pelajaran 4 — Hukum Pertama Termodinamika

bentuk diferensial
diferensial eksak
kriteria Schwarz
integral garis

Versi kerja — latihan ini masih dalam peninjauan.

Soal

Tinjaulah dua bentuk diferensial

\omega_1 = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, \qquad \omega_2 = y\,\mathrm{d}x,

dan tiga lintasan yang menghubungkan titik asal $O(0,0)$ dengan titik $M(1,1)$ : lintasan $\gamma_1$ terdiri atas ruas mendatar $O\to(1,0)$ lalu ruas tegak $(1,0)\to M$ ; lintasan $\gamma_2$ terdiri atas ruas tegak $O\to(0,1)$ lalu ruas mendatar $(0,1)\to M$ ; dan lintasan $\gamma_3$ adalah ruas garis lurus yang langsung menghubungkan $O$ dan $M$ .

Tunjukkan bahwa $\omega_1$ eksak dengan menentukan fungsi $f$ sehingga $\omega_1=\mathrm{d}f$ .
Hitung $\int_{\gamma_1}\omega_1$ dan $\int_{\gamma_2}\omega_1$ dengan memparameterkan setiap ruas. Temukan kembali hasilnya tanpa perhitungan.
Terapkan kriteria Schwarz pada $\omega_2$ . Apa kesimpulannya?
Hitung $\int_{\gamma_1}\omega_2$ , $\int_{\gamma_2}\omega_2$ , dan $\int_{\gamma_3}\omega_2$ . Berikan komentar.

Petunjuk

Pada ruas mendatar

\mathrm{d}y=0

, sedangkan pada ruas tegak

\mathrm{d}x=0

: setiap integral menyusut menjadi integral sederhana.

Pembahasan terperinci

Solusi

Pertanyaan 1. Fungsi

f(x,y)=xy

memenuhi syarat karena

\partial f/\partial x=y

dan

\partial f/\partial y=x

Pertanyaan 2. Untuk kurva yang diparameterkan oleh $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ , berlaku

\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.

Lintasan $\gamma_1$ merupakan gabungan dua ruas. Pada ruas pertama, $x(t)=t$ dan $y(t)=0$ , dengan $t\in[0,1]$ ; jadi $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ dan $\mathrm{d}y=0$ . Pada ruas kedua, $x(t)=1$ dan $y(t)=t$ , masih dengan $t\in[0,1]$ ; jadi $\mathrm{d}x=0$ dan $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ . Maka

\begin{aligned} I_1 = \int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1\left(0\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(t\times 0+1\times 1\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}

Untuk $\gamma_2$ , ruas pertama diparameterkan dengan $x(t)=0$ , $y(t)=t$ , lalu ruas kedua dengan $x(t)=t$ , $y(t)=1$ , dan $t\in[0,1]$ pada keduanya. Karena itu,

\begin{aligned} I_2 = \int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1\left(t\times 0+0\times 1\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(1\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}

Kedua nilai sama. Hal ini dapat diperkirakan tanpa perhitungan: karena $\omega_1=\mathrm{d}f$ dengan $f(x,y)=xy$ , integralnya hanya bergantung pada titik ujung,

\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

Pertanyaan 3. Tuliskan $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$ . Di sini $A(x,y)=y$ dan $B(x,y)=0$ . Jika bentuk tersebut eksak, kriteria Schwarz akan memberikan

\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

Namun $\partial A/\partial y=1$ , sedangkan $\partial B/\partial x=0$ . Turunan silang berbeda, sehingga $\omega_2$ tidak eksak. Integral dapat bergantung pada lintasan antara $O$ dan $M$ , sebagaimana dibuktikan berikut.

Pertanyaan 4. Karena $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$ , hanya perubahan $x$ pada nilai $y$ yang tidak nol yang dapat menyumbang pada integral. Dengan parameterisasi sebelumnya, untuk $\gamma_1$ diperoleh

\begin{aligned} J_1 =\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times 1\,\mathrm{d}t +\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t \\ &=0. \end{aligned}

Pada $\gamma_2$ , ruas pertama memenuhi $x(t)=0$ , jadi $\mathrm{d}x=0$ ; pada ruas kedua, $x(t)=t$ , $y(t)=1$ , dan $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ . Maka

\begin{aligned} J_2 =\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t +\int_0^1 1\times 1\,\mathrm{d}t \\ &=1. \end{aligned}

Terakhir, ruas diagonal $\gamma_3$ diparameterkan secara eksplisit oleh

x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

sehingga $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ dan $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ . Jadi

J_3 =\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\frac12.

Ketiga lintasan memiliki titik ujung yang sama, tetapi memberikan nilai berbeda: $J_1=0$ , $J_2=1$ , dan $J_3=1/2$ . Inilah ketergantungan pada lintasan yang menjadi ciri bentuk diferensial tak eksak.