Mengintegralkan bentuk diferensial sepanjang suatu lintasan

Pertanyaan 1. Fungsi $f(x,y)=xy$ memenuhi syarat karena $\partial f/\partial x=y$ dan $\partial f/\partial y=x$. Pertanyaan 2. Untuk kurva yang diparameterkan oleh $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$, berlaku

$$\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.$$

Lintasan $\gamma_1$ merupakan gabungan dua ruas. Pada ruas pertama, $x(t)=t$ dan $y(t)=0$, dengan $t\in[0,1]$; jadi $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ dan $\mathrm{d}y=0$. Pada ruas kedua, $x(t)=1$ dan $y(t)=t$, masih dengan $t\in[0,1]$; jadi $\mathrm{d}x=0$ dan $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Maka

$$\begin{aligned} I_1 = \int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1\left(0\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(t\times 0+1\times 1\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}$$

Untuk $\gamma_2$, ruas pertama diparameterkan dengan $x(t)=0$, $y(t)=t$, lalu ruas kedua dengan $x(t)=t$, $y(t)=1$, dan $t\in[0,1]$ pada keduanya. Karena itu,

$$\begin{aligned} I_2 = \int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1\left(t\times 0+0\times 1\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(1\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}$$

Kedua nilai sama. Hal ini dapat diperkirakan tanpa perhitungan: karena $\omega_1=\mathrm{d}f$ dengan $f(x,y)=xy$, integralnya hanya bergantung pada titik ujung,

$$\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.$$

Pertanyaan 3. Tuliskan $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$. Di sini $A(x,y)=y$ dan $B(x,y)=0$. Jika bentuk tersebut eksak, kriteria Schwarz akan memberikan

$$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.$$

Namun $\partial A/\partial y=1$, sedangkan $\partial B/\partial x=0$. Turunan silang berbeda, sehingga $\omega_2$ tidak eksak. Integral dapat bergantung pada lintasan antara $O$ dan $M$, sebagaimana dibuktikan berikut.

Pertanyaan 4. Karena $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$, hanya perubahan $x$ pada nilai $y$ yang tidak nol yang dapat menyumbang pada integral. Dengan parameterisasi sebelumnya, untuk $\gamma_1$ diperoleh

$$\begin{aligned} J_1 =\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times 1\,\mathrm{d}t +\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t \\ &=0. \end{aligned}$$

Pada $\gamma_2$, ruas pertama memenuhi $x(t)=0$, jadi $\mathrm{d}x=0$; pada ruas kedua, $x(t)=t$, $y(t)=1$, dan $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$. Maka

$$\begin{aligned} J_2 =\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t +\int_0^1 1\times 1\,\mathrm{d}t \\ &=1. \end{aligned}$$

Terakhir, ruas diagonal $\gamma_3$ diparameterkan secara eksplisit oleh

$$x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],$$

sehingga $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ dan $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Jadi

$$J_3 =\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\frac12.$$

Ketiga lintasan memiliki titik ujung yang sama, tetapi memberikan nilai berbeda: $J_1=0$, $J_2=1$, dan $J_3=1/2$. Inilah ketergantungan pada lintasan yang menjadi ciri bentuk diferensial tak eksak.