Efisiensi dan koefisien performa: batas Carnot dari ketaksamaan Clausius

Pertanyaan 1. Ketiga cara kerja dibedakan oleh arah nyata transfer.

• Sebagai motor, fluida menerima kalor dari reservoir panas, melepaskan sebagian kalor ke reservoir dingin, dan menghasilkan kerja: $Q_{\mathrm{H}}>0$, $Q_{\mathrm{C}}<0$, dan $W<0$.
• Sebagai lemari pendingin maupun pompa kalor, fluida menerima kerja, mengambil kalor dari reservoir dingin, dan melepaskan kalor ke reservoir panas: $W>0$, $Q_{\mathrm{C}}>0$, dan $Q_{\mathrm{H}}<0$. Kedua mesin ini identik; yang berubah hanyalah layanan yang diharapkan, yaitu mendinginkan reservoir dingin atau memanaskan reservoir panas.

Dalam satu siklus, fluida kembali ke keadaan awalnya, sehingga energi dalamnya tidak berubah: $\Delta U=0$. Hukum pertama $\Delta U=Q+W$ memberikan, dalam ketiga kasus,

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

Pertanyaan 2. Sebagai motor, $W<0$, sehingga $|W|=-W$. Hukum pertama memberikan $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, sehingga

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

Sebagai lemari pendingin atau pompa kalor, $W>0$ dan hukum pertama memberikan $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$. Karena $Q_{\mathrm{H}}<0$, berlaku $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$. Jadi

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

Karena $-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

Sebagai motor, $Q_{\mathrm{C}}<0$ dan $Q_{\mathrm{H}}>0$, sehingga $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ dan $\eta <1$: kerja yang dihasilkan tidak dapat melebihi kalor yang diterima, dan hukum pertama saja sudah cukup untuk menjaminnya. Sebaliknya, koefisien performa dapat melebihi $1$: pompa kalor tidak menciptakan kalor yang dilepaskannya, melainkan memindahkannya dari yang dingin ke yang panas, dan kerja yang diterima hanyalah sebagian darinya. Bahkan selalu berlaku ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$, karena ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$.

Pertanyaan 3. Fluida menjalani siklus dan hanya bertukar kalor dengan kedua reservoir. Ketaksamaan Clausius ditulis

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0,$$

dengan kesamaan jika dan hanya jika siklusnya reversibel. Pisahkan suku dingin, lalu kalikan dengan $T_{\mathrm{C}}>0$, yang tidak mengubah arah ketaksamaan:

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Sebagai motor, $Q_{\mathrm{H}}>0$: bagilah dengan $Q_{\mathrm{H}}$, yang juga tidak mengubah arah ketaksamaan,

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Dengan memasukkannya ke ungkapan dari pertanyaan 2,

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Kesamaan tercapai jika dan hanya jika ketaksamaan Clausius menjadi kesamaan, yaitu untuk siklus reversibel: kita memperoleh kembali teorema Carnot pertama dan ketiga tanpa andaian apa pun tentang fluida kerja. Akhirnya, $\eta =1$ akan mensyaratkan $Q_{\mathrm{C}}=0$; ketaksamaan Clausius lalu menjadi $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$, yang bertentangan dengan $Q_{\mathrm{H}}>0$. Inilah pernyataan Kelvin–Planck: sebuah motor wajib melepaskan kalor ke reservoir dingin.

Pertanyaan 4. Kali ini kita mulai dari ketaksamaan Clausius dengan memisahkan suku panas, lalu mengalikannya dengan $T_{\mathrm{H}}>0$:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}},$$

dengan arah ketaksamaan terbalik ketika kedua ruas diganti lawannya. Tambahkan $-Q_{\mathrm{C}}$ pada kedua ruas dan gunakan $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$:

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Kedua ruas positif. Bagilah dengan $W>0$, lalu kalikan dengan $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$:

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Dengan hubungan dari pertanyaan 2,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Seperti pada motor, batas-batas ini hanya dicapai oleh mesin reversibel.

Pertanyaan 5. Ketika $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$, batas efisiensi $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ menuju $0$: tanpa beda suhu, tidak ada kerja yang dapat dihasilkan. Sebaliknya, batas kedua COP, yang penyebutnya $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ menuju $0$, menuju tak berhingga: memindahkan kalor antara dua benda bersuhu sama, dalam limit reversibel, tidak memerlukan kerja apa pun. Ketika $T_{\mathrm{C}}\to 0$, batas efisiensi menuju $1$, dan batas ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ menuju $0$: mengambil kalor dari benda yang makin dingin memerlukan kerja yang makin besar per joule yang diambil: mendinginkan menuju nol mutlak menjadi makin mahal. Pertanyaan 6. Untuk lemari pendingin,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

Untuk lemari pembeku,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

Kerja yang dikeluarkan per joule kalor yang diambil ialah $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$. Rasio kedua pengeluaran minimum itu dengan demikian $18,5/6,7\approx 2,8$: bahkan dalam keadaan ideal, lemari pembeku mengeluarkan hampir tiga kali lebih banyak kerja daripada lemari pendingin untuk mengambil kalor yang sama, karena beda suhu yang harus diatasi lebih dari dua kali lebih besar. Peralatan nyata, yang ireversibel, tetap berada jauh di bawah batas-batas ini.