Latihan termodinamika dengan pembahasan

Atmosfer isotermal dan potensial kimia

Latihan 41 · Pelajaran 8 — Arah evolusi, kesetimbangan, dan kestabilan

potensial kimia
atmosfer
hukum barometrik
gravitasi
gas ideal

Soal

Untuk satu mol udara pada ketinggian $z$ , diberikan potensial kimia terumumkan

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z,

dengan $M$ massa molar udara. Atmosfer dianggap isotermal.

Jelaskan mengapa $μ$ harus tidak bergantung pada $z$ pada kesetimbangan.
Turunkan persamaan diferensial yang dipenuhi $P (z)$ , lalu hukum barometrik.
Perkirakan $P (h) / P (0)$ untuk $h = 8, 85 km$ , $T = 260 K$ , $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ , dan $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .
Sebutkan satu keterbatasan penting model ini.

Petunjuk

Pada kesetimbangan, memindahkan sejumlah kecil materi dari satu ketinggian ke ketinggian lain tidak boleh mengubah energi bebas pada orde pertama.

Pembahasan terperinci

Solusi

1. Jika

μ

lebih besar pada satu ketinggian daripada pada ketinggian lain, perpindahan materi menuju daerah berpotensial lebih rendah akan menurunkan energi bebas. Karena itu kesetimbangan mengharuskan

d μ = 0

. 2. Pada suhu konstan,

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

Jadi $d P / P = - (M g / R T) d z$ . Dengan mengintegralkan dari $0$ ke $z$ ,

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

sehingga

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

3. Dalam satuan SI, massa molar ialah $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ . Eksponennya adalah

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

Jadi $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ .

4. Suhu atmosfer yang sebenarnya berubah terhadap ketinggian. Model isotermal memberikan orde besaran yang berguna, tetapi bukan profil yang tepat; model ini juga mengabaikan kelembapan dan perubahan komposisi.