हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

साबुन फ़िल्म को फैलाने के लिए आवश्यक कार्य

अभ्यास 13 · पाठ 4 — ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम

पृष्ठ तनाव
सामान्यीकृत कार्य
अंतरापृष्ठ
साबुन फ़िल्म

प्रश्न

एक समतल साबुन फ़िल्म आयताकार ढाँचे पर तनी है, जिसकी $ℓ$ लंबाई की एक छड़ बिना घर्षण के सरक सकती है। इस छड़ और ढाँचे की सम्मुख भुजा के बीच की दूरी $x$ , $x_{A}$ से $x_{B}$ तक बढ़ती है। फ़िल्म के दो वायु-द्रव अंतरापृष्ठ हैं, जिनमें से प्रत्येक का पृष्ठ तनाव $γ$ अचर माना जाता है। किनारों के प्रभाव, भार और दाब बलों का कार्य उपेक्षित हैं; द्रव का आयतन अचर है और कोई द्रव विनिमय नहीं होता। विस्थापन इतना धीमा है कि यांत्रिक संतुलन बना रहता है। अंतरापृष्ठ के सृजन में प्राप्त कार्य $δ W = γ d A$ है, जहाँ $A$ अंतरापृष्ठों का कुल क्षेत्रफल है।

ढाँचा और छड़ बनाएँ, तथा $x$ , $ℓ$ और बाह्य खिंचाव की दिशा दर्शाएँ। $A (x)$ और फिर $d A$ लिखें।
आवश्यक बाह्य बल ज्ञात करें और $x$ के $x_{A}$ से $x_{B}$ तक जाने पर प्राप्त कार्य निकालें।
$γ = 30 mN m^{- 1}$ , $ℓ = 5, 0 cm$ और $x_{B} - x_{A} = 2, 0 cm$ के लिए यह बल और यह कार्य निकालें। एक फलक भूल जाने से क्या त्रुटि होगी?
एक ऊष्मा भंडार फ़िल्म का तापमान अचर रखता है। क्या केवल $γ$ और क्षेत्रफल परिवर्तन का ज्ञान $Δ U$ और $Q$ ज्ञात करने के लिए पर्याप्त है?

संकेत

प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल

ℓ x

है। कार्य

F_{ext} d x

को दोनों अंतरापृष्ठों के सृजन-कार्य के बराबर रखें। अंतिम प्रश्न के लिए प्राप्त कार्य और संचित ऊर्जा में भेद करें।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1। ढाँचे को फ़िल्म के तल में दर्शाते हैं, गतिशील छड़ को

x

दिशा के लंबवत, और बाह्य खिंचाव को बढ़ते

x

की दिशा में। प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल

ℓ x

है। अतः कुल क्षेत्रफल और उसका परिवर्तन हैं

A = 2 ℓ x, d A = 2 ℓ d x,

क्योंकि $ℓ$ अचर है। सामने से देखे गए चित्र में एक-दूसरे पर आ जाने पर भी दोनों अंतरापृष्ठ अलग-अलग हैं।

प्रश्न 2। प्राप्त कार्य दो प्रकार से लिखा जा सकता है:

δ W = F_{ext} d x = γ d A = 2 γ ℓ d x .

तुलना से $F_{ext} = 2 γ ℓ$ मिलता है। फ़िल्म का बल इस खिंचाव का विरोध करता है। चूँकि $γ$ और $ℓ$ अचर हैं,

W_{A \to B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} 2 γ ℓ d x = 2 γ ℓ [x]_{x_{A}}^{x_{B}} = 2 γ ℓ (x_{B} - x_{A}) > 0.

फ़िल्म का क्षेत्रफल बढ़ाने के लिए कार्य देना पड़ता है।

प्रश्न 3। SI इकाइयों में

γ = 30 \times 1 0^{- 3} N m^{- 1}

ℓ = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m

और

x_{B} - x_{A} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} m

। अतः

F_{ext} = 2 (30 \times 1 0^{- 3}) (5, 0 \times 1 0^{- 2}) = 3, 0 \times 1 0^{- 3} N, W_{A \to B} = (3, 0 \times 1 0^{- 3}) (2, 0 \times 1 0^{- 2}) = 6, 0 \times 1 0^{- 5} J = 60 μ J .

इकाइयाँ संगत हैं: $γ ℓ$ एक बल है और $γ Δ A$ एक ऊर्जा। एक फलक भूल जाने से बल और कार्य दोनों गलती से आधे हो जाते।

प्रश्न 4। प्रथम नियम केवल यह बताता है कि

Δ U = Q + γ Δ A .

तापमान बनाए रखने के लिए ऊष्मा भंडार ऊष्मा दे भी सकता है और ले भी सकता है। फ़िल्म की आंतरिक ऊर्जा के किसी मॉडल के बिना न $Δ U$ ज्ञात है, न $Q$ । अतः $γ Δ A$ को अपने-आप आंतरिक ऊर्जा का परिवर्तन नहीं माना जा सकता, और न ही समतापी होने से $Q = 0$ निकाला जा सकता है।