हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

स्थानांतरण, घूर्णन और ऊष्मीय विक्षोभ

अभ्यास 14 · पाठ 4 — ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम

कोनिग प्रमेय
घूर्णन
गतिज ऊर्जा
आंतरिक ऊर्जा
घर्षण

प्रश्न

$m_{i}$ द्रव्यमान वाले $N$ कणों के एक निकाय का कुल द्रव्यमान $M$ है, उसके द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $R$ और वेग $V$ है। $ρ_{i} = r_{i} - R$ लिखते हैं और वेगों को इस प्रकार विभाजित करते हैं:

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

समग्र कोणीय वेग $ω$ इस प्रकार चुना जाता है कि अवशिष्ट गति कोई समग्र कोणीय संवेग न रखे:

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

सर्वसमिका $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ स्वीकार करें, जहाँ $I_{CM}$ द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष जड़त्व टेंसर है।

$E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ का प्रसार करें और दिखाएँ कि तीनों मिश्र पद शून्य हैं। इससे स्थानांतरण, समग्र घूर्णन और अवशिष्ट गति में विभाजन प्राप्त करें।
उस परिपाटी में, जिसमें समग्र स्थानांतरण और घूर्णन को स्थूल गतियाँ गिना जाता है, कौन-सी गतिज ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा में आती है? क्या केवल ऊष्मीय विक्षोभ रखने के लिए द्रव्यमान केंद्र के निर्देश तंत्र में जाना पर्याप्त है?
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या की एक समांगी चकती, जिसका अक्ष स्थिर है, आरंभ में कोणीय वेग $ω_{0}$ से घूमती है। उसका जड़त्व आघूर्ण $I = M R^{2} /2$ है। एक ब्रेक उसे रोक देता है। चकती और ब्रेक का निकाय ऊष्मारोधी है; उसके स्थिर आधार कोई कार्य नहीं देते। क्षयित सारी ऊर्जा इसी निकाय में रहती है, जिसकी कुल ऊष्मा धारिता अचर $C$ है। उसकी आंतरिक ऊर्जा का परिवर्तन और तापमान वृद्धि ज्ञात करें।
$M = 2, 0 kg$ , $R = 0, 10 m$ , $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ और $C = 500 J K^{- 1}$ के लिए रूपांतरित ऊर्जा और तापमान वृद्धि निकालें। क्या इस ऊर्जा ने ऊष्मा के रूप में निकाय की सीमा पार की है?

संकेत

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

और अदिश त्रिक गुणनफल की सर्वसमिका

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

का प्रयोग करें। ब्रेक लगने के दौरान

U + E_{kin}^{macro}

संरक्षित रखें।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1। द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

देती है। इसलिए

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

प्रत्येक वर्ग का प्रसार करने पर,

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

पहला मिश्र पद द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा से शून्य होता है। दूसरा इसलिए शून्य होता है कि अवशिष्ट संवेग शून्य है। तीसरे के लिए अदिश त्रिक गुणनफल देता है

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

जड़त्व टेंसर की दी गई सर्वसमिका से शेष रहता है

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

प्रश्न 2। इस परिपाटी में आंतरिक ऊर्जा में गतिज योगदान अंतिम पद $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ है। आंतरिक ऊर्जा में आंतरिक स्थितिज ऊर्जाएँ और संभावित अन्य आंतरिक स्वातंत्र्य कोटियाँ भी शामिल हैं। द्रव्यमान केंद्र के निर्देश तंत्र में जाने से स्थानांतरण पद शून्य होता है, पर समग्र घूर्णन पद बना रहता है। इस प्रकार स्थिर अक्ष के परितः घूमती चकती के पास, द्रव्यमान केंद्र के स्थिर होने पर भी, स्थूल गतिज ऊर्जा होती है।

प्रश्न 3। चकती और ब्रेक के निकाय की सीमा पार करने वाली ऊष्मा और कार्य शून्य हैं। आधारों के बल कोणीय संवेग स्थानांतरित कर सकते हैं, पर उनके स्थिर अनुप्रयोग बिंदु कार्य स्थानांतरित नहीं करते। स्थूल ऊर्जा के किसी अन्य परिवर्तन को उपेक्षित करने पर संरक्षण देता है

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

चकती रुक जाती है, अतः $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ । इसलिए

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

आंतरिक ऊष्मीय संतुलन स्थापित हो जाने पर, अचर ऊष्मा धारिता का मॉडल $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ देता है, अर्थात

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

घर्षण व्यवस्थित गति की ऊर्जा को निकाय के भीतर ही आंतरिक ऊर्जा में बदल देता है।

प्रश्न 4। जड़त्व आघूर्ण

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

है। हमें मिलता है

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

$Q = 0$ होते हुए भी निकाय गर्म होता है: इस ऊर्जा ने ऊष्मा के रूप में उसकी सीमा पार नहीं की। वह आरंभ में घूर्णन की गतिज ऊर्जा के रूप में मौजूद थी।