हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

प्रत्यास्थ तार को खींचना

अभ्यास 12 · पाठ 4 — ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम

सामान्यीकृत कार्य
प्रत्यास्थ तार
तनन
प्रथम नियम

प्रश्न

बिना भार के $L_{0}$ लंबाई वाले एक तार को धीरे-धीरे, बिना शैथिल्य (हिस्टेरिसिस) के, $L_{A}$ से $L_{B}$ तक खींचा जाता है, जहाँ $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ । अध्ययन के परिसर में उसका साम्य तनाव नियम

F = K (L - L_{0})

का पालन करता है, जहाँ $K > 0$ एक अचर कठोरता है, जो तापमान पर निर्भर नहीं करती। प्रत्येक चरण में बाह्य खिंचाव बल तार के तनाव को संतुलित करता है। आंतरिक ऊर्जा का निम्न मॉडल अपनाया जाता है:

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

जहाँ $C$ अचर कुल ऊष्मा धारिता है और $T_{⋆}, U_{⋆}$ स्थिर संदर्भ मान हैं। गतिज ऊर्जा और गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन उपेक्षणीय हैं।

तार, उसका स्थिर बिंदु, गतिशील सिरा और बाह्य खिंचाव बल दर्शाते हुए चित्र बनाएँ। $d L$ परिवर्तन के लिए प्राप्त अल्पांश कार्य लिखें, फिर $W_{A \to B}$ निकालें।
खिंचाव समतापी है। इस मॉडल में $Δ U$ और प्राप्त ऊष्मा $Q_{A \to B}$ निकालें। क्या समतापी प्रक्रम सामान्यतः $Δ U = 0$ आवश्यक बनाता है?
उसी तनन नियम का पालन करते हुए तार को $L_{B}$ से $L_{A}$ तक वापस लाया जाता है। इस वापसी में और पूरे आने-जाने में प्राप्त कार्य निकालें। इस परिणाम का अर्थ यह क्यों नहीं है कि हर कार्य एक अवस्था फलन है?

संकेत

δ W = F_{ext} d L

का प्रयोग करें और परिवर्ती बल का समाकलन करें। फिर

Δ U = Q + W

की सहायता से इसकी तुलना मॉडल द्वारा दिए गए आंतरिक ऊर्जा अंतर से करें।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1। चित्र में बायाँ सिरा स्थिर है। दायें सिरे पर दाईं ओर निर्देशित खिंचाव बल लगता है; उसका विस्थापन

d L

है। तार के लंबा होने पर उसे प्राप्त कार्य धनात्मक होता है:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

बल अचर नहीं है। इसलिए गणना करनी होगी

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

कठोरता की इकाई $N m^{- 1}$ है: इसलिए $K (L - L_{0})^{2}$ की इकाई $N m$ अर्थात जूल है।

प्रश्न 2। चूँकि

T_{B} = T_{A}

, ऊष्मीय पद नहीं बदलता। संदर्भ नियतांक भी कट जाते हैं, अतः

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

तब प्रथम नियम $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ देता है। इस आदर्श मॉडल में प्राप्त कार्य प्रत्यास्थ ऊर्जा के रूप में संचित होता है। तापमान अचर रहता है, पर आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है: अतः समतापी होना $Δ U = 0$ आवश्यक नहीं बनाता। परिणाम $Q = 0$ यहाँ अपनाए गए मॉडल पर निर्भर है और सभी पदार्थों पर लागू नहीं होता।

प्रश्न 3। सीमाएँ उलटने से समाकल का चिह्न बदल जाता है:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

अतः पूरे आने-जाने में प्राप्त कार्य शून्य है। तार संचित कार्य लौटा देता है। यहाँ आरोपित नियम कार्य को प्रत्यास्थ ऊर्जा के परिवर्तन के बराबर बनाता है, जो $L$ का फलन है। यह इस शैथिल्य-रहित मॉडल और प्रक्रमों के इस परिवार का गुण है, कार्य-अंतरणों का कोई व्यापक गुण नहीं।