हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

एकसमान गुरुत्वीय गोले का निर्माण

अभ्यास 15 · पाठ 4 — ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम

गुरुत्वाकर्षण
अन्योन्यक्रिया ऊर्जा
एकसमान गोला
व्यापकता
दीर्घ परास

प्रश्न

$R$ त्रिज्या के एक गोले में द्रव्यमान $M$ एकसमान रूप से वितरित है, जिसका घनत्व $ρ_{m}$ है। हम उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_{grav}$ निकालना चाहते हैं, जिसका शून्य वह अवस्था है जब उसके द्रव्यमान-अवयव अनंत दूरी पर हों।

कल्पना करें कि गोले को समान घनत्व रखते हुए संकेंद्री परतों द्वारा जोड़ा जाता है। जिस चरण में त्रिज्या $r$ तक पहुँचती है, उस समय तक जुड़ा द्रव्यमान $M (r)$ है और अनंत से $d M$ द्रव्यमान का एक कोश लाया जाता है। स्वीकार करें कि भीतरी द्रव्यमान द्वारा उसके पृष्ठ पर उत्पन्न विभव $- GM (r) / r$ है। गणना केवल गुरुत्वीय ऊर्जा से संबंधित है; गोले का कोई यांत्रिक संतुलन नहीं माना गया है।

पहले से बना गोला और $r$ तथा $r + d r$ के बीच जोड़ा गया कोश बनाएँ। $ρ_{m}$ , $M (r)$ और $d M$ को $M, R, r$ तथा $d r$ के रूप में लिखें।
भीतरी गोले के साथ कोश की अन्योन्यक्रिया ऊर्जा लिखें, फिर समाकलन करके $U_{grav}$ प्राप्त करें। क्या परिणाम को दो से भाग देना चाहिए?
गोले में $m$ द्रव्यमान के $N$ घटक हैं, जहाँ $M = N m$ । स्थिर घनत्व $ρ_{m}$ पर $R$ को $N$ के रूप में लिखें, फिर $U_{grav}$ और $U_{grav} / N$ की $N$ पर निर्भरता ज्ञात करें।
$2 N$ घटकों वाले एक गोले की ऊर्जा की तुलना $N$ - $N$ घटकों वाले, अनंत दूरी पर स्थित दो गोलों की ऊर्जाओं के योग से करें, सभी का घनत्व समान है। अंतर के चिह्न और व्यापकता पर टिप्पणी करें।

संकेत

कोश का आयतन

4 π r^{2} d r

है। पहले से उपस्थित द्रव्यमान के साथ उसकी अन्योन्यक्रिया ऊर्जा

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

है। गिनती में प्रत्येक युग्म तब आता है जब उसका बाहरी भाग जोड़ा जाता है।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1। चित्र

r

त्रिज्या और

M (r)

द्रव्यमान की एक गेंद दिखाता है, जो

d r

मोटाई की परत से घिरी है; अंतिम त्रिज्या

R

अंकित है। घनत्व की एकसमानता देती है

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

अतः जोड़ा गया द्रव्यमान है

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

प्रश्न 2। गुरुत्वीय विभव प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा है। उसे लाए गए द्रव्यमान से गुणा करने पर

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

समाकलन निर्माण की सभी त्रिज्याओं पर होता है:

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

नई परत और भीतरी परत के बीच प्रत्येक अन्योन्यक्रिया केवल एक बार गिनी जाती है। इसलिए $1/2$ का गुणक नहीं जोड़ना चाहिए। अतिसूक्ष्म कोश की स्व-ऊर्जा $(d M)^{2}$ कोटि की है और सतत सीमा में समाकल में योगदान नहीं देती। ऋणात्मक चिह्न आकर्षण को दर्शाता है; द्रव्यमानों को अलग करने के लिए ऊर्जा देनी पड़ती है। अंत में, $G M^{2} / R$ की इकाई वास्तव में जूल है।

प्रश्न 3। स्थिर घनत्व पर

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

ऊर्जा में $M$ और $R$ प्रतिस्थापित करने पर

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

जहाँ $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ , $N$ से स्वतंत्र है। अतः प्रति घटक ऊर्जा $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ है। उसका निरपेक्ष मान निकाय के आकार के साथ बढ़ता है: वह सघन नहीं रहती।

प्रश्न 4। बड़े गोले की ऊर्जा

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

है। अनंत दूरी पर स्थित दो गोलों के लिए पारस्परिक अन्योन्यक्रिया शून्य है और योग

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

है। अंतर है

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

बड़ा गोला गुरुत्वीय रूप से अधिक बद्ध है। अवस्थाओं की यह तुलना अकेले उनके मिलन की गतिकी का वर्णन नहीं करती। यह दिखाती है कि $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ : गुरुत्वीय ऊर्जा व्यापक नहीं है। ऊर्जा संरक्षण पर कोई प्रश्न नहीं उठता; व्यापकता एक अतिरिक्त परिकल्पना है जो इस दीर्घ-परास अन्योन्यक्रिया के लिए विफल होती है।