हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

एक आवेशित गोला और व्यापकता का प्रश्न

अभ्यास 16 · पाठ 4 — ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम

कूलॉम अन्योन्यक्रिया
स्थिरवैद्युत ऊर्जा
व्यापकता
विद्युत उदासीनता

प्रश्न

कुल आवेश $Q > 0$ निर्वात में $R$ त्रिज्या वाले गोले के आयतन में एकसमान रूप से वितरित है। कुछ बंधन इस वितरण को बनाए रखते हैं; यहाँ केवल उसकी स्थिरवैद्युत ऊर्जा $U_{el}$ गिनी जाती है। यह चालक गोला नहीं है, जिसके आवेश संतुलन में पृष्ठ पर चले जाते।

वितरण को अनंत से आवेशित कोश लाकर बनाया जाता है। $r$ त्रिज्या की गेंद में पहले से जुड़े आवेश $Q (r)$ के लिए पृष्ठ पर विभव $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ है, जहाँ $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ । आवेश-अवयवों के अनंत दूरी पर अलग होने पर ऊर्जा शून्य है।

निर्माण का एक चरण बनाएँ। $Q (r)$ और $d Q$ को $Q, R, r$ तथा $d r$ के रूप में लिखें, फिर $U_{el}$ निकालें।
समान आवेश $q_{0}$ वाले $N$ घटकों के एक सतत मॉडल में $Q = N q_{0}$ रखते हैं। स्थिर कण घनत्व पर $R = r_{0} N^{1/3}$ लिखें और ऊर्जा की $N$ पर निर्भरता ज्ञात करें। उसके चिह्न और समघातता की कोटि की तुलना गुरुत्वाकर्षण से करें।
कुल आवेश स्थिर रखते हुए $R_{A}$ से $R_{B} > R_{A}$ तक प्रसार में ऊर्जा परिवर्तन निकालें। यदि यह प्रसार अर्ध-स्थैतिक और क्षय-रहित हो, तो प्राप्त बाह्य कार्य का चिह्न क्या है? इस कार्य का व्यंजक केवल विद्युत योगदान दर्शाता है।
भिन्न चिह्नों वाले आवेशों के लिए सूक्ष्म अन्योन्यक्रिया ऊर्जा है $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} .$
एक ही चिह्न का आवेश वहन करने वाले गोले के लिए प्राप्त नियम यह सिद्ध क्यों नहीं करता कि सारा सामान्य पदार्थ अव्यापक है? क्या कुल आवेश शून्य होना इस योग को शून्य करने के लिए पर्याप्त है?

संकेत

d U_{el} = Φ (r) d Q

का प्रयोग करें। कोशों द्वारा निर्माण प्रत्येक युग्म को एक बार गिनता है। अंतिम प्रश्न के लिए

a

दूरी पर स्थित आवेशों

+ q_{0}

और

- q_{0}

के एक साधारण युग्म पर विचार करें।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1। चित्र

r

त्रिज्या की पहले से आवेशित गेंद और लाया गया

d r

मोटाई का कोश दर्शाता है। अचर आयतन आवेश घनत्व

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

है। इसलिए

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

जोड़ने पर ऊर्जा परिवर्तन है

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

केंद्र से पृष्ठ तक के योगदान जोड़ने पर,

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

परतों के प्रत्येक युग्म की अन्योन्यक्रिया केवल एक बार गिनी जाती है; कोई अतिरिक्त $1/2$ गुणक आवश्यक नहीं। परिणाम धनात्मक है: आवेशों को जोड़ने के लिए प्रतिकर्षण के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। गुणनफल $k_{e} Q^{2} / R$ की इकाई जूल है।

प्रश्न 2। स्थिर कण घनत्व

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

पर

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

है। प्रतिस्थापित करने पर,

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

यह ऊर्जा $5/3$ घात की है, अतः अव्यापक है। प्रति कण ऊर्जा $N^{2/3}$ की तरह बढ़ती है। घात गुरुत्वीय गोले जैसी ही है, क्योंकि दोनों विभव $1/ r$ की तरह घटते हैं; चिह्न विपरीत है, क्योंकि समान चिह्न के आवेश एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। सतत मॉडल सामूहिक योगदान का वर्णन करता है, बिंदु आवेशों की स्व-ऊर्जाओं को गिने बिना।

प्रश्न 3। स्थिर

Q

पर अंतर है

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

अर्ध-स्थैतिक, क्षय-रहित प्रक्रम में प्राप्त कार्य का विद्युत योगदान स्थितिज ऊर्जा का परिवर्तन है। इसे समाकलन द्वारा भी जाँचा जा सकता है:

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

बाह्य कारक एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते आवेशों को थामे रखता है और प्रसार के दौरान कार्य प्राप्त करता है। धारक व्यवस्था में ऊर्जा का कोई अन्य संचय इस विद्युत संतुलन में शामिल नहीं है।

प्रश्न 4। समान चिह्न के आवेशों के लिए सभी गुणनफल

q_{i} q_{j}

धनात्मक हैं: उनके योगदान जुड़ते जाते हैं। इसके विपरीत, विद्युत रूप से उदासीन पदार्थ में आकर्षी और प्रतिकर्षी योगदान दोनों होते हैं, जो बड़ी दूरी पर एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं। इस प्रकार उदासीनता और, जिन माध्यमों में यह भूमिका निभाता है उनमें, परिरक्षण (स्क्रीनिंग) उस तर्क को बदल देते हैं जो सभी समान चिह्न वाले पदों के योग पर आधारित है। फिर भी कुल उदासीनता का अर्थ

U_{el} = 0

नहीं है।

a

दूरी पर स्थित दो आवेशों

+ q_{0}

और

- q_{0}

का कुल आवेश शून्य है, पर उनकी अन्योन्यक्रिया ऊर्जा

- k_{e} q_{0}^{2} / a

शून्य नहीं है। किसी स्केलिंग नियम को स्थापित करने के लिए आवेशों की व्यवस्था और उनके बीच के सहसंबंध जानना आवश्यक है। इसलिए एकसमान आवेशित गोले की गणना न तो सारे पदार्थ की अव्यापकता का प्रमाण है, न ही उदासीन निकायों की व्यापकता का प्रमाण।