हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

आंतरिक ऊर्जा का समान परिवर्तन, अंतरण के तीन ढंग

अभ्यास 7 · पाठ 4 — ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम

ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम
आंतरिक ऊर्जा
ऊष्मा
यांत्रिक कार्य
विद्युत कार्य
ऊष्मामिति
अवस्था फलन

कार्यशील संस्करण — यह अभ्यास अभी समीक्षा में है।

प्रश्न

एक द्रव, उसका ऊष्मामापी और उसमें डूबा छोटा प्रतिरोधक मिलकर एक बंद, स्थूलतः विरामस्थ निकाय बनाते हैं। पात्र दृढ़ है और निकाय की कुल ऊष्मा धारिता अचर मानी गई है:

C=2{,}00\ \mathrm{kJ\,K^{-1}}.

निकाय को $T_A=20{,}0\,^\circ\mathrm{C}$ वाली साम्यावस्था $A$ से $T_B=25{,}0\,^\circ\mathrm{C}$ वाली साम्यावस्था $B$ में ले जाना है। मानें कि

U(B)-U(A)=C(T_B-T_A).

स्थूल गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं के परिवर्तन शून्य हैं तथा बाहरी हानियाँ उपेक्षित हैं।

उसी प्रारंभिक अवस्था $A$ से निम्न तीन विधियाँ स्वतंत्र रूप से की जाती हैं:

विधि 1. कोई कार्य दिए बिना निकाय को गर्म स्रोत के ऊष्मीय संपर्क में रखा जाता है।
विधि 2. दीवारें ऊष्मारोधी हैं। $m$ द्रव्यमान का भार $h=5{,}00$ m गिरकर पैडल से द्रव को हिलाता है। अंत में पैडल और द्रव विराम में हैं तथा भार की खोई सारी यांत्रिक ऊर्जा निकाय को मिलती है। $g=9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ लें।
विधि 3. निकाय को ऊष्मा $Q_3=4{,}00$ kJ मिलती है और शेष ऊर्जा प्रतिरोधक को विद्युत रूप से दी जाती है। प्राप्त विद्युत शक्ति अचर $\mathcal P=300$ W है।

तीनों विधियों के लिए समान आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन $\Delta U=U(B)-U(A)$ निकालें।
पहली दो विधियों में निकाय को मिली ऊष्मा $Q$ और कार्य $W$ निकालें; दूसरी में आवश्यक द्रव्यमान $m$ भी निकालें।
तीसरी विधि में प्राप्त विद्युत कार्य और प्रतिरोधक को शक्ति देने की अवधि निकालें।
आरंभिक और अंतिम अवस्थाएँ समान होने पर भी $Q$ और $W$ अलग क्यों हो सकते हैं? क्या अंतिम अवस्था $B$ में निकाय के भीतर “ऊष्मा” या “कार्य” होता है?

संकेत

बैंकर चिह्न परंपरा से

\Delta U=Q+W

लगाएँ। पैडल में प्राप्त कार्य भार की स्थितिज ऊर्जा की कमी

mgh

है। तारों से सीमा पार करती विद्युत ऊर्जा को विद्युत कार्य गिनें।

विस्तृत हल

हल

प्रश्न 1।

T_B-T_A=5{,}0

K, अतः

\Delta U=C(T_B-T_A)=2{,}00\times5{,}0=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

यह केवल साम्यावस्थाओं $A$ और $B$ पर निर्भर करता है।

प्रश्न 2। विधि 1 में $W_1=0$ , इसलिए प्रथम नियम से

Q_1=\Delta U=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

ऊर्जा निकाय में आने से ऊष्मा धनात्मक है। विधि 2 में दीवारें ऊष्मारोधी हैं, अतः $Q_2=0$ और

W_2=\Delta U=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

$W_2=mgh$ से

m=\frac{W_2}{gh} =\frac{10{,}0\times10^3}{9{,}81\times5{,}00} \simeq204\ \mathrm{kg}.

यह बड़ा परिमाण बताता है कि मामूली तापवृद्धि भी पर्याप्त यांत्रिक ऊर्जा के तुल्य है।

प्रश्न 3। प्रथम नियम से

W_3=\Delta U-Q_3=10{,}0-4{,}00=6{,}00\ \mathrm{kJ}.

विद्युत आपूर्ति निकाय को ऊर्जा देती है, इसलिए कार्य धनात्मक है। $W_3=\mathcal P\,\Delta t$ से

\Delta t=\frac{W_3}{\mathcal P}=\frac{6{,}00\times10^3}{300}=20{,}0\ \mathrm{s}.

प्रश्न 4। तीन पथ क्रमशः

(Q_1,W_1)=(10{,}0,0)\ \mathrm{kJ},\qquad (Q_2,W_2)=(0,10{,}0)\ \mathrm{kJ},

और

(Q_3,W_3)=(4{,}00,6{,}00)\ \mathrm{kJ}

देते हैं। हर बार $Q+W=10{,}0$ kJ और $\Delta U$ समान है। आंतरिक ऊर्जा अवस्था फलन है, जबकि ऊष्मा और कार्य प्रक्रम में ऊर्जा-अंतरण बताते हैं। अंतिम अवस्था $B$ में निकाय की आंतरिक ऊर्जा है, पर उसमें न “ऊष्मा” है न “कार्य”।