हल सहित ऊष्मागतिकी अभ्यास

समतापी वायुमंडल और रासायनिक विभव

अभ्यास 41 · पाठ 8 — विकास की दिशा, साम्य और स्थायित्व

रासायनिक विभव
वायुमंडल
बैरोमीट्रिक नियम
गुरुत्व
आदर्श गैस

प्रश्न

ऊँचाई $z$ पर एक मोल वायु के लिए सामान्यीकृत रासायनिक विभव दिया गया है:

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z,

जहाँ $M$ वायु का मोलर द्रव्यमान है। वायुमंडल को समतापी माना गया है।

समझाएँ कि साम्य पर $μ$ को $z$ से स्वतंत्र क्यों होना चाहिए।
इससे $P (z)$ द्वारा संतुष्ट अवकल समीकरण, और फिर बैरोमीट्रिक नियम प्राप्त करें।
$h = 8, 85 km$ , $T = 260 K$ , $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ और $g = 9, 81 m s^{- 2}$ के लिए $P (h) / P (0)$ का अनुमान लगाएँ।
इस मॉडल की एक महत्त्वपूर्ण सीमा बताएँ।

संकेत

साम्य पर, पदार्थ की थोड़ी-सी मात्रा को एक ऊँचाई से दूसरी ऊँचाई पर ले जाने से प्रथम कोटि में मुक्त ऊर्जा नहीं बदलनी चाहिए।

विस्तृत हल

हल

1. यदि

μ

एक ऊँचाई पर दूसरी की अपेक्षा अधिक होता, तो कम विभव वाले क्षेत्र की ओर पदार्थ का स्थानांतरण मुक्त ऊर्जा को घटा देता। अतः साम्य

d μ = 0

आवश्यक बनाता है। 2. स्थिर तापमान पर,

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

अतः $d P / P = - (M g / R T) d z$ । $0$ से $z$ तक समाकलन करने पर,

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

जिससे

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

3. SI इकाइयों में मोलर द्रव्यमान $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ है। घातांक है

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

अतः $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ ।

4. वायुमंडल का वास्तविक तापमान ऊँचाई के साथ बदलता है। समतापी मॉडल उपयोगी परिमाण-क्रम देता है, पर सटीक प्रोफ़ाइल नहीं; यह आर्द्रता और संघटन के परिवर्तन को भी उपेक्षित करता है।