Exercice corrigé de thermodynamique

Travail et chaleur le long de trois chemins élémentaires

Exercice 7 · Leçon 4 — Le premier principe de la thermodynamique

travail des forces de pression
isotherme
isobare
isochore
diagramme de Clapeyron
premier principe

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

On considère un système fermé constitué de $n$ moles de gaz parfait monoatomique ( $U = \frac{3}{2}nRT$ ), initialement dans l'état $A(P_A, V_A, T_A)$ . Toutes les transformations sont quasi-statiques.

Compression isotherme $A\to B$ jusqu'à $V_B = V_A/2$ . Calculer $P_B$ , puis $W$ , $\Delta U$ et $Q$ sur cette branche.
Détente isobare $B\to C$ jusqu'à $V_C = V_A$ . Calculer $T_C$ , puis $W$ , $\Delta U$ et $Q$ .
Refroidissement isochore $C\to A$ qui referme le cycle. Calculer $W$ , $\Delta U$ et $Q$ .
Représenter le cycle $A\to B\to C\to A$ dans le diagramme de Clapeyron $(V,P)$ . Application numérique pour $n = 1$ mol, $P_A = 1{,}0$ bar, $T_A = 300$ K : donner $(P,V,T)$ en chacun des trois points.
Comparer $W_{A\to B}$ au travail $W_{A\to C\to B}$ reçu le long du chemin isochore $A\to C$ puis isobare $C\to B$ . Commenter.
Le cycle $A\to B\to C\to A$ est-il moteur ou récepteur ? Calculer le travail total et vérifier la cohérence avec le sens de parcours.
Représenter le même cycle dans le diagramme $(T,P)$ .

Indication

Sur une isotherme de gaz parfait, remplacer

P

par

nRT/V

dans

\delta W = -P\,\mathrm{d}V

avant d'intégrer. En diagramme

(V,P)

, l'aire du cycle vaut le travail fourni si le parcours est horaire. Convention banquier : tout ce qui entre dans le système est compté positivement.

Solution détaillée

Solution

Question 1. Isotherme :

T_B = T_A

, et

P_AV_A = P_BV_B

donne

P_B = 2P_A

W_{AB} = -\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_A}{V}\,\mathrm{d}V = -nRT_A\ln\frac{V_B}{V_A} = nRT_A\ln 2 > 0.

$U$ ne dépend que de $T$ : $\Delta U = 0$ , donc $Q_{AB} = -W_{AB} = -nRT_A\ln 2 < 0$ (le gaz évacue la chaleur de compression).

Question 2. $P_CV_C = 2P_AV_A = 2nRT_A$ donc $T_C = 2T_A$ . À pression constante $P_B = 2P_A$ :

W_{BC} = -2P_A\left(V_A - \tfrac{V_A}{2}\right) = -P_AV_A = -nRT_A, \qquad \Delta U_{BC} = \tfrac{3}{2}nR(T_C - T_A) = \tfrac{3}{2}nRT_A,

d'où $Q_{BC} = \Delta U_{BC} - W_{BC} = \tfrac{5}{2}nRT_A$ .

Question 3. Isochore : $W_{CA} = 0$ et $Q_{CA} = \Delta U_{CA} = \tfrac{3}{2}nR(T_A - 2T_A) = -\tfrac{3}{2}nRT_A$ .

Question 4. $V_A = RT_A/P_A \approx 24{,}9$ L. Donc $A$ : $(1$ bar, $24{,}9$ L, $300$ K $)$ , $B$ : $(2$ bar, $12{,}5$ L, $300$ K $)$ , $C$ : $(2$ bar, $24{,}9$ L, $600$ K $)$ .

Question 5. $W_{A\to C\to B} = 0 + \left[-2P_A\left(\tfrac{V_A}{2} - V_A\right)\right] = P_AV_A = nRT_A \approx 2494$ J, alors que $W_{A\to B} = nRT_A\ln 2 \approx 1729$ J. Mêmes états extrêmes, travaux différents : le travail dépend du chemin suivi, $\delta W$ n'est pas une différentielle exacte.

Question 6. $W_{\text{total}} = nRT_A\ln 2 - nRT_A = nRT_A(\ln 2 - 1) \approx -765$ J $< 0$ : le gaz fournit du travail, le cycle est moteur. C'est cohérent : en diagramme $(V,P)$ , le parcours est horaire (isotherme en bas, isobare en haut) et l'aire du cycle vaut le travail fourni.

Question 7. En diagramme $(T,P)$ : $A\to B$ est un segment vertical à $T = T_A$ (de $P_A$ à $2P_A$ ) ; $B\to C$ un segment horizontal à $P = 2P_A$ (de $T_A$ à $2T_A$ ) ; $C\to A$ un segment de la droite passant par l'origine $P = (nR/V_A)\,T$ (isochore).