Exercice corrigé de thermodynamique

Cycle de Stirling et régénérateur

Exercice 55 · Leçon 10 — Machines thermiques

machines thermiques
cycle de Stirling
régénérateur
rendement de Carnot
isotherme
isochore

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Le cycle de Stirling idéal est composé de quatre étapes pour $n$ moles de gaz parfait entre une source chaude à $T_c$ et une source froide à $T_f$ ( $T_c > T_f$ ), avec $V_1 < V_2$ :

$A\to B$ : détente isotherme à $T_c$ de $V_1$ à $V_2$ .
$B\to C$ : refroidissement isochore à $V_2$ de $T_c$ à $T_f$ (chaleur $Q_{BC}$ cédée au régénérateur).
$C\to D$ : compression isotherme à $T_f$ de $V_2$ à $V_1$ .
$D\to A$ : réchauffement isochore à $V_1$ de $T_f$ à $T_c$ (chaleur reprise du régénérateur).

Calculer $Q_{AB}$ , $Q_{BC}$ , $Q_{CD}$ , $Q_{DA}$ et les travaux associés.
Montrer que $Q_{BC} + Q_{DA} = 0$ : le régénérateur restitue exactement la chaleur stockée.
En déduire le rendement $\eta$ du cycle. Comparer au rendement de Carnot.

Indication

Sur les isothermes,

\Delta U = 0

donc

Q = -W

. Sur les isochores,

W = 0

donc

Q = \Delta U = nC_v\Delta T

Solution détaillée

Solution

Q_{AB} = nRT_c\ln\frac{V_2}{V_1} > 0, \quad W_{AB} = -nRT_c\ln\frac{V_2}{V_1}.Q_{BC} = nC_v(T_f - T_c) < 0, \quad W_{BC} = 0.Q_{CD} = nRT_f\ln\frac{V_1}{V_2} < 0, \quad W_{CD} = -nRT_f\ln\frac{V_1}{V_2}.Q_{DA} = nC_v(T_c - T_f) > 0, \quad W_{DA} = 0.

2. $Q_{BC} + Q_{DA} = nC_v(T_f - T_c) + nC_v(T_c - T_f) = 0$ . Le régénérateur absorbe la chaleur lors de $B\to C$ et la restitue intégralement lors de $D\to A$ .

3. Chaleur totale absorbée de la source chaude : $Q_c = Q_{AB} = nRT_c\ln(V_2/V_1)$ . Travail total produit :

W_{total} = nR(T_c - T_f)\ln\frac{V_2}{V_1}.

Rendement :

\eta = \frac{|W_{total}|}{Q_c} = \frac{nR(T_c-T_f)\ln(V_2/V_1)}{nRT_c\ln(V_2/V_1)} = 1 - \frac{T_f}{T_c} = \eta_{\text{Carnot}}.

Grâce au régénérateur, le cycle de Stirling atteint le rendement de Carnot — ce qui en fait l'un des cycles moteurs idéaux les plus élégants.