Énoncé

Une sphère de rayon $R$ contient une masse $M$ répartie uniformément, de masse volumique $\rho_m$ . On veut calculer son énergie potentielle gravitationnelle $U_{\mathrm{grav}}$ , avec une origine nulle lorsque ses éléments de masse sont infiniment éloignés.

On imagine assembler la sphère par couches concentriques, en conservant la même masse volumique. À l'étape où le rayon atteint $r$ , la masse déjà assemblée est $M(r)$ et l'on apporte depuis l'infini une coquille de masse $\mathrm{d}M$ . On admet que le potentiel créé à sa surface par la masse intérieure vaut $-GM(r)/r$ . Le calcul porte seulement sur l'énergie gravitationnelle ; aucun équilibre mécanique de la sphère n'est supposé.

Dessiner la sphère déjà assemblée et la coquille ajoutée entre $r$ et $r+\mathrm{d}r$ . Exprimer $\rho_m$ , $M(r)$ et $\mathrm{d}M$ en fonction de $M,R,r$ et $\mathrm{d}r$ .
Exprimer l'énergie d'interaction de la coquille avec la sphère intérieure, puis intégrer pour obtenir $U_{\mathrm{grav}}$ . Faut-il diviser le résultat par deux ?
La sphère contient $N$ constituants de masse $m$ , avec $M=Nm$ . À masse volumique $\rho_m$ fixée, exprimer $R$ en fonction de $N$ puis déterminer la dépendance de $U_{\mathrm{grav}}$ et de $U_{\mathrm{grav}}/N$ en $N$ .
Comparer l'énergie d'une sphère de $2N$ constituants à la somme des énergies de deux sphères de $N$ constituants chacune, infiniment éloignées, toutes à la même masse volumique. Commenter le signe de la différence et l'extensivité.

Indication

La coquille a pour volume

4\pi r^2\,\mathrm{d}r

. Son énergie d'interaction avec la masse déjà en place est

\mathrm{d}U_{\mathrm{grav}}=-GM(r)\,\mathrm{d}M/r

. Lors du comptage, chaque paire est rencontrée quand sa partie extérieure est ajoutée.

Solution détaillée

Solution

Question 1. Le schéma montre une boule de rayon

r

, de masse

M(r)

, entourée d'une couche d'épaisseur

\mathrm{d}r

; le rayon final

R

est indiqué. L'uniformité de la masse volumique donne

\rho_m=\frac{M}{4\pi R^3/3}=\frac{3M}{4\pi R^3}, \qquad M(r)=\rho_m\frac{4\pi r^3}{3}=M\frac{r^3}{R^3}.

La masse ajoutée est donc

\mathrm{d}M=4\pi\rho_m r^2\,\mathrm{d}r =\frac{3M}{R^3}r^2\,\mathrm{d}r.

Question 2. Le potentiel gravitationnel est une énergie par unité de masse. En le multipliant par la masse apportée, on trouve

\mathrm{d}U_{\mathrm{grav}} =-\frac{GM(r)}{r}\,\mathrm{d}M =-\frac{G}{r}\frac{Mr^3}{R^3}\frac{3Mr^2}{R^3}\,\mathrm{d}r =-\frac{3GM^2}{R^6}r^4\,\mathrm{d}r.

L'intégration porte sur tous les rayons d'assemblage :

\begin{aligned} U_{\mathrm{grav}} &=-\frac{3GM^2}{R^6}\int_0^R r^4\,\mathrm{d}r\\ &=-\frac{3GM^2}{R^6}\left[\frac{r^5}{5}\right]_0^R =-\frac{3GM^2}{R^6}\frac{R^5}{5} =-\frac{3GM^2}{5R}. \end{aligned}

Chaque interaction entre une couche nouvelle et une couche intérieure est comptée une seule fois. Il ne faut donc pas ajouter de facteur $1/2$ . L'auto-énergie d'une coquille infinitésimale est d'ordre $(\mathrm{d}M)^2$ et ne contribue pas à l'intégrale dans la limite continue. Le signe négatif traduit l'attraction ; séparer les masses demande de fournir de l'énergie. Enfin $GM^2/R$ a bien l'unité d'un joule.

Question 3. À densité fixée,

\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{Nm}{\rho_m}, \qquad R=\left(\frac{3m}{4\pi\rho_m}\right)^{1/3}N^{1/3}.

En remplaçant $M$ et $R$ dans l'énergie,

U_{\mathrm{grav}} =-\frac35Gm^2\left(\frac{4\pi\rho_m}{3m}\right)^{1/3} \frac{N^2}{N^{1/3}} =-a_gN^{5/3},

où $a_g=\frac35Gm^2(4\pi\rho_m/(3m))^{1/3}>0$ est indépendant de $N$ . L'énergie par constituant vaut donc $U_{\mathrm{grav}}/N=-a_gN^{2/3}$ . Sa valeur absolue augmente avec la taille du système : elle ne reste pas intensive.

Question 4. La grande sphère a une énergie

U_{\mathrm{grav}}(2N)=-a_g2^{5/3}N^{5/3}

. Pour les deux sphères infiniment éloignées, l'interaction mutuelle est nulle et la somme vaut

2U_{\mathrm{grav}}(N)=-2a_gN^{5/3}

. La différence est

U_{\mathrm{grav}}(2N)-2U_{\mathrm{grav}}(N) =-a_g(2^{5/3}-2)N^{5/3}<0.

La grande sphère est davantage liée gravitationnellement. Cette comparaison d'états ne décrit pas à elle seule la dynamique de leur réunion. Elle montre que $U_{\mathrm{grav}}(2N)\neq2U_{\mathrm{grav}}(N)$ : l'énergie gravitationnelle n'est pas extensive. La conservation de l'énergie n'est pas remise en cause ; l'extensivité est une hypothèse supplémentaire qui échoue pour cette interaction à longue portée.