ماشینی میان دو بلوک: بیشترین کار بازیافتنی

پرسش 1. بلوک‌ها صلب‌اند و کار نمی‌گیرند. پس تغییرات انرژی آن‌ها همان گرماهای دریافتی‌اند:

$$C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.$$

ماشین به حالت آغازین برمی‌گردد. موازنهٔ انرژی آن می‌دهد $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$، یعنی

$$\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.$$

بازده نسبت کار بازیافتنی به گرمای دریافتی از A است. چون $\delta W<0$، داریم $|\delta W|=-\delta W$، پس

$$\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.$$

بلوک A مقدار $-\delta Q_A<0$ و بلوک B مقدار $-\delta Q_B>0$ می‌گیرد. با ظرفیت‌های گرمایی مثبت، $\mathrm dT_A<0$ و $\mathrm dT_B>0$. پس اختلاف دما کاهش می‌یابد:

$$\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.$$

نسبت $T_B/T_A$ افزایش می‌یابد، زیرا صورت زیاد و مخرج کم می‌شود. بازده $1-T_B/T_A$ به‌تدریج افت می‌کند. وقتی $T_A=T_B$ صفر می‌شود: اختلاف دما تمام شده و هیچ ماشین چرخه‌ای میان این بلوک‌ها نمی‌تواند کار بیشتری بدهد.

پرسش 2. موازنه‌های بلوک‌ها می‌دهند $\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A$ و $\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B$. در رابطهٔ قبلی جای‌گذاری می‌کنیم:

$$-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.$$

با تغییر علامت و تقسیم بر $T_B$ داریم

$$C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.$$

از دماهای آغازین تا دماهای پس از تعداد دلخواهی چرخه انتگرال می‌گیریم:

$$C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.$$

یک پادمشتق $1/T$ برابر $\ln T$ است؛ ارزیابی کران‌ها می‌دهد

$$C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.$$

این رابطه پایستگی آنتروپی کل را در کارکرد برگشت‌پذیر بیان می‌کند. هنگام توقف ماشین $T_A=T_B=T_r$. با نوشتن $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$ داریم

$$(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.$$

با تقسیم بر $C_A+C_B$ و گرفتن نمایی داریم

$$\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}$$

ظرفیت گرمایی بلوک‌ها محدود است: هر تبادل گرما دمایشان را طبق $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$ تغییر می‌دهد که $\delta Q_{\mathrm{block}}$ گرمای دریافتی بلوک مورد بررسی است. پس بازده آغازین در سراسر آزمایش معتبر نیست. دماها را فقط در هر چرخهٔ بی‌نهایت کوچک می‌توان ثابت گرفت و هر بار باید مقادیر تازه را به کار برد.

پرسش 3. مجموعهٔ بلوک‌ها و ماشین بی‌دررو است ولی کار می‌دهد: منزوی نیست. چون ماشین انرژی ذخیره نمی‌کند، اصل اول می‌دهد

$$C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.$$

کار دریافتی مجموعه همان کار دریافتی ماشین است. جمع‌کردن جمله‌ها می‌دهد

$$W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.$$

کار بازیافتنی در بیرون قدرمطلق آن است:

$$\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}$$

هر حاصل‌ضرب $CT$ واحد انرژی، ژول، دارد. برای فهم بیشینه‌بودن در حالت برگشت‌پذیر، ماشینی را فرض کنید که آنتروپی تولید و بلوک‌ها را در دمای مشترک $T_*$ رها می‌کند. موازنهٔ آنتروپی بلوک‌ها ایجاب می‌کند

$$C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.$$

با کم‌کردن موازنهٔ برگشت‌پذیر که صفر است، $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$ می‌ماند، پس $T_*\geq T_r$. کار دریافتی این ماشین در کارکرد موتوری $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$ است، بنابراین

$$W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.$$

پس $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$: کار دریافتی در حالت برگشت‌پذیر منفی‌ترین مقدار را دارد. بنابراین قدرمطلق آن بیشینه است، $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$.

برای $C_A=C_B=C$، توان $1/2$ است، پس

$$T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.$$

اتحاد $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$ را تشخیص می‌دهیم. اگر دماهای آغازین برابر باشند، کار صفر می‌شود.

پرسش 4. ظرفیت گرمایی داده‌شده بر واحد جرم است. پس ظرفیت گرمایی کل هر بلوک برابر است با

$$C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.$$

دماهای زیر ریشهٔ دوم باید برحسب کلوین باشند:

$$T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.$$

جای‌گذاری در نتیجهٔ پرسش 3 می‌دهد

$$|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.$$

پس بیشترین کار بازیافتنی حدود $0{,}58\ \mathrm{kJ}$ است. با قرارداد انرژی دریافتی، کار دریافتی ماشین $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$ است: علامت منفی نشان می‌دهد که این انرژی را به محیط می‌دهد.