تراکم در تماس با یک مخزن: برگشت‌پذیر یا ناگهانی

پرسش 1. در تراکم برگشت‌پذیر، گاز با مخزن در تعادل گرمایی می‌ماند: دمایش در سراسر فرایند $T_0$ است. فشارش به‌آرامی از $P_0$ به $P_1=xP_0$ می‌رسد. در حالت نهایی،

$$P_{f,\mathrm{rev}}=xP_0,\qquad T_{f,\mathrm{rev}}=T_0,\qquad V_{f,\mathrm{rev}}=\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x},$$

که در آن از معادلهٔ حالت آغازین $nRT_0=P_0V_0$ استفاده شده است.

برای تراکم ناگهانی، فشار خارجی روی $P_1$ قرار می‌گیرد. در تعادل مکانیکی نهایی، فشار گاز با فشار خارجی برابر است: $P_{f,\mathrm{irr}}=P_1=xP_0$. تعادل گرمایی نهایی با مخزن ایجاب می‌کند $T_{f,\mathrm{irr}}=T_0$. آنگاه معادلهٔ حالت می‌دهد

$$V_{f,\mathrm{irr}}=\frac{nRT_{f,\mathrm{irr}}}{P_{f,\mathrm{irr}}} =\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x}.$$

بنابراین هر دو فرایند به حالت نهایی یکسان $(P_f,T_f,V_f)=(xP_0,T_0,V_0/x)$ می‌رسند.

پرسش 2. آنتروپی تابع حالت است: تغییرش تنها به حالت‌های آغازین و نهایی وابسته است که در هر دو آزمایش یکسان‌اند. برای گاز ایده‌آل،

$$\Delta S_{\mathrm{gas}} =nc_V\ln\frac{T_f}{T_0}+nR\ln\frac{V_f}{V_0} =nc_V\ln1+nR\ln\frac1x=-nR\ln x.$$

پس $\Delta S_{\mathrm{gas,rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas,irr}}=-nR\ln x<0$. این کاهش آنتروپی گاز، آنتروپی تولیدشده را تعیین نمی‌کند: تبادل با مخزن نیز باید لحاظ شود.

پرسش 3. هنگام تراکم برگشت‌پذیر $P_{\mathrm{ext}}=P=nRT_0/V$. کار دریافتی برابر است با

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{rev}}&=-\int_{V_0}^{V_0/x}\frac{nRT_0}{V}\,\mathrm dV\\ &=-nRT_0[\ln V]_{V_0}^{V_0/x} =-nRT_0\ln(1/x)=nRT_0\ln x>0. \end{aligned}$$

گاز به دمای آغازین بازمی‌گردد، پس $\Delta U=nc_V(T_0-T_0)=0$. اصل اول $\Delta U=Q+W$ می‌دهد $Q_{\mathrm{rev}}=-W_{\mathrm{rev}}$. مخزن گرمای مخالف را در دمای $T_0$ دریافت می‌کند:

$$\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=\frac{-Q_{\mathrm{rev}}}{T_0}=nR\ln x.$$

آنتروپی دریافتی گاز $S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=Q_{\mathrm{rev}}/T_0=-nR\ln x$ است، پس $S_{\mathrm{i},\mathrm{rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}-S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=0$. مخزن آنتروپی $S_{\mathrm{e},\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{rev}}/T_0$ را دریافت می‌کند که برابر با تغییر آنتروپی آن است؛ بنابراین آن هم آنتروپی تولید نمی‌کند. جمع می‌دهد $\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=0$: در مجموعه آنتروپی تولید نمی‌شود.

پرسش 4. تراکم ناگهانی زیر فشار خارجی ثابت $P_1$ رخ می‌دهد. بنابراین کار دریافتی برابر است با

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{irr}}&=-P_1(V_f-V_0) =-xP_0\left(\frac{V_0}{x}-V_0\right)\\ &=P_0V_0(x-1)=nRT_0(x-1)>0. \end{aligned}$$

دوباره $\Delta U=0$، پس $Q_{\mathrm{irr}}=-nRT_0(x-1)$.

پرسش 5. مخزن $-Q_{\mathrm{irr}}$ دریافت می‌کند، پس

$$\Delta S_{\mathrm{th,irr}}=\frac{-Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}=nR(x-1).$$

موازنهٔ آنتروپی گاز چنین است

$$\Delta S_{\mathrm{gas}}=\frac{Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}+S_{\mathrm{i}}, \qquad S_{\mathrm{i}}=-nR\ln x+nR(x-1).$$

برای مخزن ایده‌آل، آنتروپی دریافتی $-Q_{\mathrm{irr}}/T_0$ برابر تغییر آن است: آنتروپی تولید نمی‌کند. مجموعهٔ گاز—مخزن از هیچ جسم دیگری گرما نمی‌گیرد؛ کار دریافتی از بیرون آنتروپی حمل نمی‌کند. بنابراین افزایش آنتروپی آن درونی تولید شده است:

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,irr}} =-nR\ln x+nR(x-1).$$

می‌گذاریم $f(x)=x-1-\ln x$. آنگاه $f(1)=0$ و $f'(x)=1-1/x=(x-1)/x>0$ برای $x>1$. تابع از صفر افزایش می‌یابد، پس $S_{\mathrm{i}}=nRf(x)>0$. همچنین،

$$W_{\mathrm{irr}}-W_{\mathrm{rev}} =nRT_0(x-1)-nRT_0\ln x=T_0 S_{\mathrm{i}}.$$

چون در هر دو حالت $Q=-W$، کار اضافی به‌صورت گرما به مخزن پس داده می‌شود. این بهای برگشت‌ناپذیری است.