تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

جو هم‌دما و پتانسیل شیمیایی

تمرین 41 · درس 8 — جهت تحول، تعادل و پایداری

پتانسیل شیمیایی
جو
قانون فشارسنجی
گرانش
گاز ایده‌آل

صورت مسئله

برای یک مول هوا در ارتفاع $z$ ، پتانسیل شیمیایی تعمیم‌یافته چنین داده می‌شود:

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z,

که در آن $M$ جرم مولی هواست. جو هم‌دما فرض می‌شود.

توضیح دهید چرا $μ$ در تعادل باید مستقل از $z$ باشد.
معادلهٔ دیفرانسیلی را که $P (z)$ در آن صدق می‌کند و سپس قانون فشارسنجی را نتیجه بگیرید.
$P (h) / P (0)$ را برای $h = 8, 85 km$ ، $T = 260 K$ ، $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ و $g = 9, 81 m s^{- 2}$ برآورد کنید.
یک محدودیت مهم این مدل را بیان کنید.

راهنمایی

در تعادل، جابه‌جاکردن مقدار کمی ماده از یک ارتفاع به ارتفاعی دیگر نباید انرژی آزاد را در مرتبهٔ اول تغییر دهد.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. اگر

μ

در یک ارتفاع بزرگ‌تر از ارتفاعی دیگر بود، انتقال ماده به سوی ناحیهٔ با پتانسیل کمتر انرژی آزاد را کاهش می‌داد. بنابراین تعادل ایجاب می‌کند

d μ = 0

. پرسش 2. در دمای ثابت،

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

پس $d P / P = - (M g / R T) d z$ . با انتگرال‌گیری از $0$ تا $z$ ،

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

و از آنجا

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

پرسش 3. جرم مولی در یکاهای SI برابر $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ است. نما برابر است با

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

پس $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ .

پرسش 4. دمای واقعی جو با ارتفاع تغییر می‌کند. مدل هم‌دما مرتبهٔ بزرگی سودمندی می‌دهد، اما نیم‌رخ دقیقی به دست نمی‌دهد؛ این مدل رطوبت و تغییر ترکیب هوا را نیز نادیده می‌گیرد.