دو گاز جداشده با دیوارهٔ داخلی

پرسش 1. شکل ظرفی صلب با حجم کل $2V$ را نشان می‌دهد که با دیواره تقسیم شده است. سمت چپ: $(n_1,T_1,V,P_0)$؛ سمت راست: $(3n_1,T_1/2,V,P_{2,i})$. دیواره‌های بیرونی بی‌دررو هستند. با دیوارهٔ داخلی ثابت، نفوذناپذیر و بی‌دررو، هیچ تبادلی مجاز نیست: هر گاز حتی با اختلاف دما و فشار حالتش را نگه می‌دارد. تکیه‌گاه دیواره اختلاف فشار را تحمل می‌کند.

پرسش 2 — محاسبهٔ جبری. معادلهٔ گاز ایده‌آل می‌دهد

$$P_{1,i}=\frac{n_1RT_1}{V}=P_0, \qquad P_{2,i}=\frac{3n_1R(T_1/2)}{V}=\frac32P_0.$$

پرسش 3 — دیوارهٔ گرماگذر ثابت. هنگام انتقال کوچک انرژی با $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$، حجم‌ها ثابت می‌مانند: برای هر گاز $\mathrm dS_j=\mathrm dU_j/T_j$. جمع می‌دهد

$$\mathrm dS_{\mathrm{tot}}=\frac{\mathrm dU_1}{T_1} +\frac{\mathrm dU_2}{T_2} =\frac{\mathrm dU_1}{T_1}-\frac{\mathrm dU_1}{T_2}.$$

دماهای این تغییر به حالت مورد بررسی مربوط‌اند. با گرفتن عامل مشترک داریم

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1.$$

در تعادل آنتروپی بیشینه است؛ پس ضریب $\mathrm{d}U_1$ باید صفر شود و $T_{1,f}=T_{2,f}=T_f$ را ایجاب می‌کند. پایستگی انرژی می‌دهد

$$n_1\frac32R(T_f-T_1) +3n_1\frac32R\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0,$$

با تقسیم موازنهٔ انرژی بر $(3/2)n_1R$ داریم

$$(T_f-T_1)+3\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0, \quad 4T_f-\frac52T_1=0, \quad T_f=\frac58T_1.$$

سپس $P_{1,f}=n_1RT_f/V=(T_f/T_1)P_0$ و $P_{2,f}=3n_1RT_f/V=3(T_f/T_1)P_0$، پس

$$T_f=\frac58T_1, \qquad P_{1,f}=\frac58P_0, \qquad P_{2,f}=\frac{15}{8}P_0.$$

چون دیواره ثابت است، تعادل مکانیکی میان گازها لازم نیست: فشارهای نهایی می‌توانند متفاوت باشند.

پرسش 4 — موازنهٔ آنتروپی. گاز 2 انرژی را کاملاً به‌صورت گرما می‌گیرد،

$$Q_{1\to2}=\Delta U_2 =3n_1\frac32R\left(\frac58T_1-\frac12T_1\right) =\frac9{16}n_1RT_1.$$

گاز 1 گرمای مخالف را می‌گیرد: $Q_1=-Q_{1\to2}<0$، درحالی‌که $Q_2=Q_{1\to2}>0$. دیواره ثابت است، پس $W_1=W_2=0$. مجموعه منزوی است، پس $S_{\mathrm{e}}=0$ و $S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}$. چون حجم‌ها ثابت‌اند،

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac{T_f}{T_1} =\frac32n_1R\ln\frac58, \Delta S_2=\frac32(3n_1)R\ln\frac{T_f}{T_1/2} =\frac92n_1R\ln\frac54.$$

گاز 1 آنتروپی از دست می‌دهد و گاز 2 آنتروپی می‌گیرد. مجموع آن‌ها برابر است با

$$S_{\mathrm{i}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right) +3\ln\!\left(\frac54\right) \right]>0.$$

این تولید آنتروپی بازتاب انتقال خودبه‌خودی گرما میان گازهایی با دماهای آغازین متفاوت است. برای بررسی علامت بدون مقدارهای عددی، لگاریتم‌ها را ترکیب می‌کنیم:

$$\ln\frac58+3\ln\frac54 =\ln\left[\frac58\left(\frac54\right)^3\right] =\ln\frac{625}{512}>0.$$

پرسش 5 — دیوارهٔ گرماگذر متحرک. با $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ و $\mathrm{d}V_2=-\mathrm{d}V_1$،

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1 +\left(\frac{P_1}{T_1}-\frac{P_2}{T_2}\right)\mathrm{d}V_1.$$

دیواره بازتوزیع مستقل انرژی و حجم را مجاز می‌کند. پس ایستایی باید برای هر $\mathrm dU_1$ و هر $\mathrm dV_1$ برقرار باشد: هر دو ضریب صفر می‌شوند. اولی $T_{1,f}=T_{2,f}$ را ایجاب می‌کند؛ دومی سپس $P_{1,f}/T_f=P_{2,f}/T_f$، یعنی $P_{1,f}=P_{2,f}$، را می‌دهد. پایستگی انرژی دوباره $T_f=5T_1/8$ می‌دهد. در فشار و دمای مشترک، حجم‌ها با مقدارهای ماده متناسب‌اند. چون مجموعشان $2V$ است،

$$\frac{V_{2,f}}{V_{1,f}}=\frac{3n_1RT_f/P_f}{n_1RT_f/P_f}=3, \qquad V_{1,f}+3V_{1,f}=2V.$$

پس $V_{1,f}=V/2$ و $V_{2,f}=3V/2$.

فشار مشترک $P_f=n_1R(5T_1/8)/(V/2)=(5/4)P_0$ است. بنابراین

$$V_{1,f}=\frac V2, \qquad V_{2,f}=\frac{3V}{2}, \qquad P_f=\frac54P_0.$$

تغییرات انرژی درونی همان مقادیر حالت دیوارهٔ ثابت‌اند، ولی انرژی اکنون هم به‌صورت گرما و هم کار مبادله می‌شود. موازنهٔ آنتروپی جمله‌های دمایی پرسش 4 را به‌علاوهٔ جمله‌های حجمی دارد:

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac58+n_1R\ln\frac{V/2}{V}, \Delta S_2=\frac92n_1R\ln\frac54+3n_1R\ln\frac{3V/2}{V}.$$

جمع می‌دهد

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right)+3\ln\!\left(\frac54\right) \right] +n_1R\left[ \ln\!\left(\frac12\right)+3\ln\!\left(\frac32\right) \right]>0.$$

افزایش نسبت به حالت دیوارهٔ ثابت برابر است با

$$n_1R\left[\ln\frac12+3\ln\frac32\right] =n_1R\ln\left[\frac12\left(\frac32\right)^3\right] =n_1R\ln\frac{27}{16}>0.$$

پس آزادکردن حرکت دیواره، آنتروپی نهایی قابل‌دستیابی دستگاه را افزایش می‌دهد.