Una máquina entre dos bloques: trabajo máximo recuperable

Pregunta 1. Los bloques son rígidos y no reciben trabajo. Sus variaciones de energía son, por tanto, los calores recibidos:

$$C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.$$

La máquina vuelve a su estado inicial. Su balance energético da $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$, es decir,

$$\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.$$

El rendimiento es el cociente entre el trabajo recuperado y el calor recibido de A. Como $\delta W<0$, se tiene $|\delta W|=-\delta W$, de donde

$$\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.$$

El bloque A recibe $-\delta Q_A<0$ y el bloque B recibe $-\delta Q_B>0$. Como las capacidades térmicas son positivas, $\mathrm dT_A<0$ y $\mathrm dT_B>0$. La diferencia de temperatura disminuye:

$$\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.$$

El cociente $T_B/T_A$ aumenta porque su numerador aumenta y su denominador disminuye. El rendimiento $1-T_B/T_A$ disminuye progresivamente. Cuando $T_A=T_B$, se anula: la diferencia de temperatura se ha agotado y ninguna máquina cíclica que funcione entre estos bloques puede seguir suministrando trabajo.

Pregunta 2. Los balances de los bloques dan $\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A$ y $\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B$. Sustituyendo en la relación anterior,

$$-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.$$

Cambiando el signo y dividiendo por $T_B$,

$$C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.$$

Se integra desde las temperaturas iniciales hasta las alcanzadas tras un número cualquiera de ciclos:

$$C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.$$

Una primitiva de $1/T$ es $\ln T$; evaluando en los límites,

$$C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.$$

Esta relación expresa la conservación de la entropía total durante el funcionamiento reversible. Cuando la máquina se detiene, $T_A=T_B=T_r$. Escribiendo $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$,

$$(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.$$

Dividiendo por $C_A+C_B$ y exponenciando,

$$\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}$$

Las capacidades térmicas de los bloques son finitas: todo intercambio de calor cambia sus temperaturas según $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$, donde $\delta Q_{\mathrm{block}}$ es el calor recibido por el bloque considerado. El rendimiento inicial no vale, por tanto, durante toda la experiencia. Solo pueden considerarse constantes las temperaturas dentro de cada ciclo infinitesimal, utilizando cada vez sus valores actualizados.

Pregunta 3. El conjunto de bloques y máquina es adiabático, pero suministra trabajo: no está aislado. Como la máquina no almacena energía, el primer principio da

$$C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.$$

El trabajo recibido por el conjunto es el recibido por la máquina. Agrupando los términos,

$$W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.$$

El trabajo recuperado en el exterior es su valor absoluto:

$$\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}$$

Cada producto $CT$ tiene unidades de energía, julios. Para ver por qué la reversibilidad da el máximo, se considera una máquina que produce entropía y deja los bloques a una temperatura común $T_*$. El balance de entropía de los bloques exige

$$C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.$$

Restando el balance reversible, que es nulo, queda $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$, de donde $T_*\geq T_r$. El trabajo recibido durante este funcionamiento motor es $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$, por lo que

$$W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.$$

Así, $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$: el trabajo recibido es más negativo en el caso reversible. Su valor absoluto es, por tanto, máximo, $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$.

Para $C_A=C_B=C$, el exponente vale $1/2$, de donde

$$T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.$$

Se reconoce la identidad $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$. El trabajo se anula si las temperaturas iniciales son iguales.

Pregunta 4. La capacidad térmica dada es por unidad de masa. La capacidad térmica total de cada bloque es entonces

$$C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.$$

Las temperaturas dentro de las raíces cuadradas deben expresarse en kelvin:

$$T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.$$

Sustituyendo en el resultado de la pregunta 3,

$$|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.$$

El trabajo máximo recuperable es, por tanto, aproximadamente $0{,}58\ \mathrm{kJ}$. Con la convención de energía recibida, el trabajo recibido por la máquina es $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$: el signo negativo indica que transfiere esta energía al exterior.