Ejercicio resuelto de termodinámica

Una esfera cargada y la cuestión de la extensividad

Ejercicio 16 · Lección 4 — El primer principio de la termodinámica

interacción coulombiana
energía electrostática
extensividad
neutralidad eléctrica

Enunciado

Una carga total $Q > 0$ está distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio $R$ , en el vacío. Unas ligaduras mantienen esta distribución; aquí solo se cuenta su energía electrostática $U_{el}$ . No se trata de una esfera conductora, cuyas cargas se situarían en la superficie en el equilibrio.

La distribución se ensambla trayendo capas cargadas desde el infinito. Para una carga ya ensamblada $Q (r)$ en una bola de radio $r$ , el potencial en la superficie vale $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ , donde $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ . La energía es nula para elementos de carga infinitamente separados.

Dibujar una etapa del ensamblaje. Expresar $Q (r)$ y $d Q$ en función de $Q, R, r$ y $d r$ , y calcular después $U_{el}$ .
En un modelo continuo de $N$ constituyentes de igual carga $q_{0}$ , se toma $Q = N q_{0}$ . A densidad de partículas fija, escribir $R = r_{0} N^{1/3}$ y determinar cómo depende la energía de $N$ . Comparar su signo y su grado de homogeneidad con los de la gravitación.
A carga total fija, calcular la variación de energía en una dilatación de $R_{A}$ a $R_{B} > R_{A}$ . ¿Cuál es el signo del trabajo exterior recibido si esta dilatación es cuasiestática y sin disipación? La expresión de este trabajo representa solo la contribución eléctrica.
Para cargas de signos distintos, la energía de interacción microscópica se escribe $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} .$
¿Por qué la ley obtenida para una esfera con carga de un solo signo no demuestra que toda la materia ordinaria sea no extensiva? ¿Basta una carga total nula para anular esta suma?

Pista

Utilizar

d U_{el} = Φ (r) d Q

. La construcción por capas cuenta cada par una vez. En la última pregunta, examinar un simple par de cargas

+ q_{0}

- q_{0}

separadas una distancia

a

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. El esquema representa la bola ya cargada, de radio

r

, y la capa aportada, de espesor

d r

. La densidad volúmica de carga constante vale

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

. Por consiguiente,

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

La variación de energía al añadir la capa es

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Sumando las aportaciones desde el centro hasta la superficie,

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

La interacción de cada par de capas se cuenta una sola vez; no hace falta ningún factor $1/2$ adicional. El resultado es positivo: hay que vencer la repulsión para ensamblar las cargas. El producto $k_{e} Q^{2} / R$ se expresa en julios.

Pregunta 2. A densidad de partículas

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

fija, se tiene

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

. Sustituyendo,

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

Esta energía es de grado $5/3$ y, por tanto, no extensiva. Su energía por partícula crece como $N^{2/3}$ . El grado es el mismo que para la esfera gravitatoria porque ambos potenciales decrecen como $1/ r$ ; el signo es opuesto, ya que las cargas del mismo signo se repelen. El modelo continuo describe la contribución colectiva, sin contar las autoenergías de las cargas puntuales.

Pregunta 3. A

Q

fija, la diferencia vale

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

En una evolución cuasiestática sin disipación, la contribución eléctrica al trabajo recibido es la variación de energía potencial. También puede comprobarse por integración:

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

El agente exterior retiene las cargas que se repelen y recibe trabajo durante la dilatación. Este balance eléctrico no incluye ningún otro almacenamiento de energía en el dispositivo de sujeción.

Pregunta 4. Para cargas del mismo signo, todos los productos

q_{i} q_{j}

son positivos: sus contribuciones se suman. En la materia eléctricamente neutra, por el contrario, existen contribuciones atractivas y repulsivas que pueden compensarse a gran distancia. La neutralidad y, en los medios en que interviene, el apantallamiento modifican así el razonamiento basado en la suma de términos todos del mismo signo. Sin embargo, la neutralidad total no significa

U_{el} = 0

. Dos cargas

+ q_{0}

- q_{0}

separadas una distancia

a

tienen carga total nula, pero una energía de interacción

- k_{e} q_{0}^{2} / a

, no nula. Hay que conocer la organización y las correlaciones entre cargas para establecer una ley de escala. El cálculo de la esfera uniformemente cargada no constituye, por tanto, ni una prueba de no extensividad de toda la materia, ni una prueba de extensividad de los sistemas neutros.

Enunciado

Indicación

Solución detallada