Ejercicio resuelto de termodinámica

Ensamblar una esfera gravitatoria uniforme

Ejercicio 15 · Lección 4 — El primer principio de la termodinámica

gravitación
energía de interacción
esfera uniforme
extensividad
largo alcance

Enunciado

Una esfera de radio $R$ contiene una masa $M$ distribuida uniformemente, de densidad $ρ_{m}$ . Se quiere calcular su energía potencial gravitatoria $U_{grav}$ , tomando el origen nulo cuando sus elementos de masa están infinitamente alejados.

Se imagina que la esfera se ensambla por capas concéntricas, conservando la misma densidad. En la etapa en que el radio alcanza $r$ , la masa ya ensamblada es $M (r)$ y se trae desde el infinito una capa esférica de masa $d M$ . Se admite que el potencial creado en su superficie por la masa interior vale $- GM (r) / r$ . El cálculo se refiere solo a la energía gravitatoria; no se supone ningún equilibrio mecánico de la esfera.

Dibujar la esfera ya ensamblada y la capa añadida entre $r$ y $r + d r$ . Expresar $ρ_{m}$ , $M (r)$ y $d M$ en función de $M, R, r$ y $d r$ .
Expresar la energía de interacción de la capa con la esfera interior e integrar después para obtener $U_{grav}$ . ¿Hay que dividir el resultado por dos?
La esfera contiene $N$ constituyentes de masa $m$ , con $M = N m$ . A densidad $ρ_{m}$ fija, expresar $R$ en función de $N$ y determinar después cómo dependen de $N$ $U_{grav}$ y $U_{grav} / N$ .
Comparar la energía de una esfera de $2 N$ constituyentes con la suma de las energías de dos esferas de $N$ constituyentes cada una, infinitamente alejadas, todas con la misma densidad. Comentar el signo de la diferencia y la extensividad.

Pista

La capa tiene un volumen

4 π r^{2} d r

. Su energía de interacción con la masa ya colocada es

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

. En el recuento, cada par se cuenta cuando se añade su parte exterior.

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. El esquema muestra una bola de radio

r

, de masa

M (r)

, rodeada por una capa de espesor

d r

; se indica el radio final

R

. La uniformidad de la densidad da

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

La masa añadida es, por tanto,

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

Pregunta 2. El potencial gravitatorio es una energía por unidad de masa. Multiplicándolo por la masa aportada, se obtiene

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

La integración se extiende a todos los radios de ensamblaje:

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

Cada interacción entre una capa nueva y una capa interior se cuenta una sola vez. Por tanto, no hay que añadir ningún factor $1/2$ . La autoenergía de una capa infinitesimal es del orden de $(d M)^{2}$ y no contribuye a la integral en el límite continuo. El signo negativo refleja la atracción: separar las masas exige aportar energía. Por último, $G M^{2} / R$ tiene efectivamente unidades de julio.

Pregunta 3. A densidad fija,

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

Sustituyendo $M$ y $R$ en la energía,

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

donde $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ es independiente de $N$ . La energía por constituyente vale, por tanto, $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ . Su valor absoluto aumenta con el tamaño del sistema: no permanece intensiva.

Pregunta 4. La esfera grande tiene una energía

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

. Para las dos esferas infinitamente alejadas, la interacción mutua es nula y la suma vale

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

. La diferencia es

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

La esfera grande está más ligada gravitatoriamente. Esta comparación de estados no describe por sí sola la dinámica de su unión. Muestra que $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ : la energía gravitatoria no es extensiva. La conservación de la energía no se pone en duda; la extensividad es una hipótesis adicional que falla para esta interacción de largo alcance.

Enunciado

Indicación

Solución detallada