Ejercicio resuelto de termodinámica

Traslación, rotación y agitación térmica

Ejercicio 14 · Lección 4 — El primer principio de la termodinámica

teorema de König
rotación
energía cinética
energía interna
rozamiento

Enunciado

Un sistema de $N$ partículas de masas $m_{i}$ tiene una masa total $M$ , un centro de masas de posición $R$ y de velocidad $V$ . Se define $ρ_{i} = r_{i} - R$ y se descomponen las velocidades:

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

La velocidad angular global $ω$ se elige de modo que el movimiento residual no tenga momento angular global:

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

Se admite la identidad $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ , donde $I_{CM}$ es el tensor de inercia respecto al centro de masas.

Desarrollar $E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ y demostrar que los tres términos cruzados son nulos. Deducir la descomposición en traslación, rotación global y movimiento residual.
En el convenio en que la traslación y la rotación globales se cuentan como movimientos macroscópicos, ¿qué energía cinética forma parte de la energía interna? ¿Basta con situarse en el sistema de referencia del centro de masas para conservar solo la agitación térmica?
Un disco homogéneo de masa $M$ y radio $R$ , cuyo eje está fijo, gira inicialmente con velocidad angular $ω_{0}$ . Su momento de inercia vale $I = M R^{2} /2$ . Un freno lo detiene. El sistema formado por el disco y el freno está aislado térmicamente; sus soportes inmóviles no aportan trabajo. Toda la energía disipada permanece en este sistema, de capacidad térmica total constante $C$ . Establecer su variación de energía interna y su aumento de temperatura.
Calcular la energía convertida y el aumento de temperatura para $M = 2, 0 kg$ , $R = 0, 10 m$ , $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ y $C = 500 J K^{- 1}$ . ¿Ha atravesado esta energía la frontera del sistema en forma de calor?

Pista

Utilizar

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

y la identidad del producto mixto

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

. Durante el frenado, se conserva

U + E_{kin}^{macro}

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. La definición del centro de masas da

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

. Por consiguiente,

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

Desarrollando cada cuadrado,

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

El primer término cruzado se anula por la definición del centro de masas. El segundo se anula porque la cantidad de movimiento residual es nula. Para el tercero, el producto mixto da

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

Con la identidad dada para el tensor de inercia, queda

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

Pregunta 2. En este convenio, la contribución cinética a la energía interna es el último término, $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ . La energía interna incluye también las energías potenciales internas y los demás grados de libertad internos que pueda haber. Situarse en el sistema de referencia del centro de masas anula el término de traslación, pero deja el término de rotación global. Un disco que gira alrededor de un eje fijo posee así una energía cinética macroscópica aunque su centro de masas esté inmóvil.

Pregunta 3. El calor y el trabajo que atraviesan la frontera del sistema formado por el disco y el freno son nulos. Las fuerzas de los soportes pueden transmitir momento angular, pero sus puntos de aplicación, inmóviles, no transmiten trabajo. Despreciando cualquier otra variación de energía macroscópica, la conservación da

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

El disco se detiene, luego $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ . Por consiguiente,

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

Una vez alcanzado el equilibrio térmico interno, el modelo de capacidad constante da $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ , es decir,

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

El rozamiento convierte energía de movimiento ordenado en energía interna dentro del sistema.

Pregunta 4. El momento de inercia vale

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

. Se obtiene

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

El sistema se calienta aunque $Q = 0$ : esta energía no ha atravesado su frontera en forma de calor. Estaba inicialmente presente como energía cinética de rotación.

Enunciado

Indicación

Solución detallada