Ejercicio resuelto de termodinámica

El trabajo necesario para extender una película de jabón

Ejercicio 13 · Lección 4 — El primer principio de la termodinámica

tensión superficial
trabajo generalizado
interfase
película de jabón

Enunciado

Una película de jabón plana está tendida sobre un marco rectangular uno de cuyos lados, una varilla de longitud $ℓ$ , puede deslizar sin rozamiento. La distancia $x$ entre esta varilla y el lado opuesto del marco aumenta de $x_{A}$ a $x_{B}$ . La película tiene dos interfases aire-líquido, cada una de tensión superficial $γ$ , que se supone constante. Se desprecian los efectos de borde, el peso y el trabajo de las fuerzas de presión; el volumen de líquido es constante y no se intercambia líquido. El desplazamiento es lo bastante lento para que se mantenga el equilibrio mecánico. Para la creación de interfase, el trabajo recibido se escribe $δ W = γ d A$ , donde $A$ es el área total de las interfases.

Dibujar el marco y la varilla, indicar $x$ , $ℓ$ y el sentido de la tracción exterior. Expresar $A (x)$ y después $d A$ .
Determinar la fuerza exterior necesaria y calcular el trabajo recibido cuando $x$ pasa de $x_{A}$ a $x_{B}$ .
Calcular esta fuerza y este trabajo para $γ = 30 mN m^{- 1}$ , $ℓ = 5, 0 cm$ y $x_{B} - x_{A} = 2, 0 cm$ . ¿Qué error se cometería si se olvidara una cara?
La película se mantiene a temperatura constante gracias a un termostato. ¿Basta con conocer $γ$ y la variación de área para determinar $Δ U$ y $Q$ ?

Pista

Cada cara tiene un área

ℓ x

. Identificar el trabajo

F_{ext} d x

con el trabajo de creación de las dos interfases. En la última pregunta, distinguir el trabajo recibido de la energía almacenada.

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. Se representa el marco en el plano de la película, la varilla móvil perpendicular a la dirección

x

y la tracción exterior en el sentido de

x

creciente. Cada cara tiene un área

ℓ x

. El área total y su variación son, por tanto,

A = 2 ℓ x, d A = 2 ℓ d x,

ya que $ℓ$ es constante. Las dos interfases son distintas, aunque se superpongan en el dibujo visto de frente.

Pregunta 2. El trabajo recibido puede escribirse de dos maneras:

δ W = F_{ext} d x = γ d A = 2 γ ℓ d x .

La identificación da $F_{ext} = 2 γ ℓ$ . La fuerza de la película se opone a esta tracción. Puesto que $γ$ y $ℓ$ son constantes,

W_{A \to B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} 2 γ ℓ d x = 2 γ ℓ [x]_{x_{A}}^{x_{B}} = 2 γ ℓ (x_{B} - x_{A}) > 0.

Aumentar el área de la película exige un aporte de trabajo.

Pregunta 3. En unidades SI,

γ = 30 \times 1 0^{- 3} N m^{- 1}

ℓ = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m

x_{B} - x_{A} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} m

. Así,

F_{ext} = 2 (30 \times 1 0^{- 3}) (5, 0 \times 1 0^{- 2}) = 3, 0 \times 1 0^{- 3} N, W_{A \to B} = (3, 0 \times 1 0^{- 3}) (2, 0 \times 1 0^{- 2}) = 6, 0 \times 1 0^{- 5} J = 60 μ J .

Las unidades son coherentes: $γ ℓ$ es una fuerza y $γ Δ A$ una energía. Olvidar una cara dividiría erróneamente por dos la fuerza y el trabajo.

Pregunta 4. El primer principio solo impone

Δ U = Q + γ Δ A .

El termostato puede ceder o recibir calor para mantener la temperatura. Sin un modelo de la energía interna de la película, no se conoce ni $Δ U$ ni $Q$ . Por tanto, no puede identificarse automáticamente $γ Δ A$ con una variación de energía interna, ni deducirse $Q = 0$ del carácter isotermo.

Enunciado

Indicación

Solución detallada