Ejercicio resuelto de termodinámica

Estirar un hilo elástico

Ejercicio 12 · Lección 4 — El primer principio de la termodinámica

trabajo generalizado
hilo elástico
tracción
primer principio

Enunciado

Un hilo de longitud natural $L_{0}$ se estira lentamente, sin histéresis, de $L_{A}$ a $L_{B}$ , con $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ . En el intervalo estudiado, su tensión de equilibrio sigue la ley

F = K (L - L_{0}),

donde $K > 0$ es una rigidez constante, independiente de la temperatura. La tracción exterior equilibra la tensión del hilo en cada etapa. Se adopta el modelo de energía interna

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

donde $C$ es una capacidad térmica total constante y $T_{⋆}, U_{⋆}$ son referencias fijas. Las variaciones de energía cinética y de energía potencial gravitatoria son despreciables.

Dibujar el hilo, su punto fijo, el extremo móvil y la fuerza de tracción exterior. Escribir el trabajo elemental recibido para una variación $d L$ y calcular después $W_{A \to B}$ .
El estiramiento es isotermo. Calcular $Δ U$ y el calor $Q_{A \to B}$ recibido en este modelo. ¿Impone en general una transformación isoterma que $Δ U = 0$ ?
Se devuelve el hilo de $L_{B}$ a $L_{A}$ siguiendo la misma ley de tracción. Calcular el trabajo recibido en este retorno y en el ciclo de ida y vuelta. ¿Por qué este resultado no significa que todo trabajo sea una función de estado?

Pista

Emplear

δ W = F_{ext} d L

e integrar la fuerza variable. Comparar después con la diferencia de energía interna dada por el modelo, utilizando

Δ U = Q + W

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. En el esquema, el extremo izquierdo está fijo. El extremo derecho está sometido a una tracción dirigida hacia la derecha; su desplazamiento es

d L

. El trabajo recibido por el hilo es positivo cuando se alarga:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

La fuerza no es constante. Hay que calcular, por tanto,

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

La rigidez tiene por unidad $N m^{- 1}$ : $K (L - L_{0})^{2}$ se expresa, por tanto, en $N m$ , es decir, en julios.

Pregunta 2. Como

T_{B} = T_{A}

, el término térmico no varía. Las constantes de referencia también se simplifican, de donde

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

El primer principio da entonces $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ . En este modelo ideal, el trabajo recibido se almacena como energía elástica. La temperatura permanece constante, pero la energía interna aumenta: el carácter isotermo no impone, por tanto, $Δ U = 0$ . El resultado $Q = 0$ depende aquí del modelo adoptado y no se extiende a todos los materiales.

Pregunta 3. Invertir los límites cambia el signo de la integral:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

El trabajo recibido en la ida y vuelta es, por tanto, nulo. El hilo devuelve el trabajo almacenado. Aquí, la ley impuesta hace que el trabajo sea igual a la variación de la energía elástica, que es función de $L$ . Es una propiedad de este modelo sin histéresis y de esta familia de transformaciones, no una propiedad general de las transferencias de trabajo.

Enunciado

Indicación

Solución detallada