Ejercicio resuelto de termodinámica

Cambiar el tamaño de un sistema

Ejercicio 7 · Lección 3 — Nociones fundamentales

extensividad
intensividad
homogeneidad
superficie
análisis dimensional

Enunciado

Un sistema homogéneo usual tiene una masa $m$ , un volumen $V$ , un número de partículas $N$ , una energía interna $U$ , una temperatura $T$ y una presión $P$ . Se supone aquí que $U$ es extensiva, despreciando las interacciones de largo alcance y los efectos de borde. Se cambia su tamaño a estado intensivo fijo: $(m, V, N, U) \mapsto (λm, λV, λ N, λ U)$ , con $λ > 0$ , mientras que $T$ y $P$ permanecen inalteradas.

Determinar el grado de homogeneidad de $m / V$ , $V / N$ , $U / N$ , $P V$ , $U^{2} / V$ y $V^{1/3}$ . ¿Qué magnitudes son extensivas, cuáles intensivas y cuáles ni lo uno ni lo otro?
Se proponen dos expresiones para una energía, $U_{1} = a N k_{B} T$ y $U_{2} = a N^{2} k_{B} T$ , donde $a > 0$ es adimensional e independiente del tamaño del sistema. Comprobar sus dimensiones y determinar después cuál es compatible con la hipótesis de extensividad. Recordar por qué estas dos comprobaciones son distintas.
Para una esfera de radio $R$ , expresar el área $A$ en función del volumen $V$ . Determinar los grados de homogeneidad de $A$ y $A / V$ cuando se agranda una sola esfera a densidad fija.
Comparar el área de una esfera de volumen $8 V$ con el área total de ocho esferas separadas de volumen $V$ cada una. Explicar por qué «agrandar un objeto» y «yuxtaponer copias» no dan el mismo resultado para el área de sus interfaces.

Pista

Sustituir cada magnitud por su valor tras el cambio de escala. El factor obtenido debe ser

λ^{k}

para una magnitud homogénea de grado

k

. Para la esfera, partir de

V = 4 π R^{3} /3

A = 4 π R^{2}

Solución detallada

Solución

Pregunta 1. Los factores de escala se multiplican en un producto y se dividen en un cociente. Explícitamente, se obtiene

\frac{λm}{λV} = \frac{m}{V}, \frac{λV}{λ N} = \frac{V}{N}, \frac{λ U}{λ N} = \frac{U}{N} .

Estos tres cocientes son de grado $0$ y, por tanto, intensivos. A continuación,

P (λV) = λ P V, \frac{( λ U ) ^{2}}{λV} = λ \frac{U ^{2}}{V}, (λV)^{1/3} = λ^{1/3} V^{1/3} .

Así, $P V$ y $U^{2} / V$ son de grado $1$ y, por tanto, extensivas en el sentido de la ley de escala dada; $V^{1/3}$ es de grado $1/3$ , de modo que no es ni extensiva ni intensiva. El grado de homogeneidad no dice nada de las unidades: $P V$ se expresa en julios, pero $U^{2} / V$ en $J^{2} m^{- 3}$ .

Pregunta 2.

N

es un número adimensional y

k_{B}

se expresa en

J K^{- 1}

. Las dos expresiones tienen, pues, dimensiones de energía. Sin embargo,

U_{1} (λ N, T) = λ U_{1} (N, T), U_{2} (λ N, T) = λ^{2} U_{2} (N, T) .

Solo $U_{1}$ es compatible con la extensividad supuesta. Una fórmula puede, por tanto, tener las unidades correctas y presentar a la vez una dependencia incorrecta con el tamaño del sistema. Esto no excluye cualquier energía no extensiva: es la hipótesis planteada en este ejercicio la que excluye $U_{2}$ .

Pregunta 3. Se despeja el radio y se sustituye en el área:

R = (\frac{3 V}{4 π})^{1/3}, A = 4 π (\frac{3 V}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V^{2/3} .

Por tanto, $A (λV) = λ^{2/3} A (V)$ : el área es de grado $2/3$ . Dividiendo por $λV$ , se obtiene $A (λV) / (λV) = λ^{- 1/3} A (V) / V$ . La relación área-volumen es de grado $- 1/3$ y disminuye cuando la esfera crece.

Pregunta 4. Para la esfera única,

A (8 V) = 8^{2/3} A (V) = 4 A (V)

. Las ocho esferas separadas tienen, en cambio, un área total

8 A (V)

. Su área total es, por tanto, el doble. Al agrandar un objeto compacto se conserva su forma y se reduce el peso relativo de las interfaces. La yuxtaposición conserva todas las interfaces de las copias. Hay que precisar la operación geométrica cuando se estudian contribuciones de superficie; son precisamente las que se desprecian en la descripción extensiva del volumen.

Enunciado

Indicación

Solución detallada