তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

একটি স্থিতিস্থাপক তার টানা

অনুশীলনী 12 · পাঠ 4 — তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র

সাধারণীকৃত কাজ
স্থিতিস্থাপক তার
টান
প্রথম সূত্র

প্রশ্ন

শিথিল অবস্থায় $L_{0}$ দৈর্ঘ্যের একটি তারকে ধীরে ধীরে, হিস্টেরেসিস ছাড়া, $L_{A}$ থেকে $L_{B}$ পর্যন্ত টানা হয়, যেখানে $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ । আলোচ্য পরিসরে এর সাম্য টানবল নিচের সূত্র মেনে চলে:

F = K (L - L_{0}),

যেখানে $K > 0$ একটি ধ্রুব দৃঢ়তা, যা তাপমাত্রার উপর নির্ভর করে না। প্রতিটি ধাপে বাহ্যিক টান তারের টানবলকে ভারসাম্যে রাখে। অভ্যন্তরীণ শক্তির জন্য নিচের মডেলটি গ্রহণ করা হয়:

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

যেখানে $C$ একটি ধ্রুব মোট তাপধারণ ক্ষমতা এবং $T_{⋆}, U_{⋆}$ নির্দিষ্ট নির্দেশক মান। গতিশক্তি ও মহাকর্ষীয় বিভব শক্তির পরিবর্তন উপেক্ষণীয়।

তার, তার স্থির বিন্দু, চলমান প্রান্ত এবং বাহ্যিক টানবল আঁকুন। $d L$ পরিবর্তনের জন্য গৃহীত প্রাথমিক কাজ লিখুন, তারপর $W_{A \to B}$ হিসাব করুন।
টানাটি সমতাপীয়। এই মডেলে $Δ U$ এবং গৃহীত তাপ $Q_{A \to B}$ হিসাব করুন। সমতাপীয় রূপান্তর কি সাধারণভাবে $Δ U = 0$ বাধ্যতামূলক করে?
একই টান-সূত্র মেনে তারটিকে $L_{B}$ থেকে $L_{A}$ -তে ফিরিয়ে আনা হয়। ফেরার পথে এবং যাওয়া-আসা মিলিয়ে গৃহীত কাজ হিসাব করুন। এই ফল কেন বোঝায় না যে সব কাজই অবস্থা অপেক্ষক?

ইঙ্গিত

δ W = F_{ext} d L

ব্যবহার করে পরিবর্তনশীল বলটির সমাকলন করুন। তারপর

Δ U = Q + W

ব্যবহার করে মডেল থেকে পাওয়া অভ্যন্তরীণ শক্তির পার্থক্যের সঙ্গে তুলনা করুন।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

প্রশ্ন ১। চিত্রে বাম প্রান্তটি স্থির। ডান প্রান্তে ডান দিকে একটি টান কাজ করে; এর সরণ

d L

। তার লম্বা হলে তারের গৃহীত কাজ ধনাত্মক:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

বলটি ধ্রুব নয়। তাই হিসাব করতে হবে

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

দৃঢ়তার একক $N m^{- 1}$ ; তাই $K (L - L_{0})^{2}$ -এর একক $N m$ , অর্থাৎ জুল।

প্রশ্ন ২।

T_{B} = T_{A}

হওয়ায় তাপীয় পদটি বদলায় না। নির্দেশক ধ্রুবকগুলিও কেটে যায়, তাই

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

প্রথম সূত্র তখন দেয় $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ । এই আদর্শ মডেলে গৃহীত কাজ স্থিতিস্থাপক শক্তি হিসেবে সঞ্চিত হয়। তাপমাত্রা ধ্রুব থাকে, কিন্তু অভ্যন্তরীণ শক্তি বাড়ে: অর্থাৎ সমতাপীয়তা $Δ U = 0$ বাধ্যতামূলক করে না। $Q = 0$ ফলটি এখানে গৃহীত মডেলের উপর নির্ভর করে এবং সব উপাদানের ক্ষেত্রে খাটে না।

প্রশ্ন ৩। সমাকলনের সীমা উল্টে দিলে সমাকলের চিহ্ন বদলায়:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

অতএব যাওয়া-আসা মিলিয়ে গৃহীত কাজ শূন্য। তারটি সঞ্চিত কাজ ফিরিয়ে দেয়। এখানে আরোপিত সূত্রের কারণে কাজটি $L$ -এর অপেক্ষক স্থিতিস্থাপক শক্তির পরিবর্তনের সমান হয়। এটি হিস্টেরেসিসহীন এই মডেল এবং এই শ্রেণির রূপান্তরের বৈশিষ্ট্য, কাজের মাধ্যমে শক্তি স্থানান্তরের কোনো সাধারণ বৈশিষ্ট্য নয়।