তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

তাপীয় সাম্যের সুস্থিতি: এনট্রপির অবতলতা ও ধনাত্মক তাপধারণ ক্ষমতা

অনুশীলনী 44 · পাঠ 8 — বিবর্তনের দিক, সাম্য ও স্থিতিশীলতা

সুস্থিতি
অবতলতা
এনট্রপির সর্বোচ্চ মান
তাপধারণ ক্ষমতা
তাপীয় সাম্য
মৌলিক সম্পর্ক

প্রশ্ন

একটি বস্তু একটি মৌলিক সম্পর্ক $S (U, V, N)$ দ্বারা বর্ণিত। প্রশ্ন ১ থেকে ৩-এ এর আয়তন ও কণাসংখ্যা স্থির থাকে; তখন এর এনট্রপিকে সংক্ষেপে $S (U)$ লেখা হয়, এবং ধ্রুব আয়তনে এর তাপধারণ ক্ষমতা সংজ্ঞায়িত হয় $C_{V} = (\partial U / \partial T)_{V, N}$ দ্বারা।

একটি দৃঢ়, বিচ্ছিন্ন পাত্রে এই বস্তুর দুটি অভিন্ন অংশ আছে, যাদের আয়তন ও কণাসংখ্যা একই; একটি স্থির, অভেদ্য ও তাপপরিবাহী দেয়াল তাদের পৃথক করে। মোট শক্তি $2 U_{0}$ নির্দিষ্ট। প্রথম অংশের শক্তিকে $U_{1}$ লেখা হয়; দ্বিতীয়টির শক্তি তাই $2 U_{0} - U_{1}$ ।

পাত্রের মোট এনট্রপি $S_{tot} (U_{1})$ লিখুন। দেখান যে সমভাবে বণ্টন $U_{1} = U_{0}$ হলে $S_{tot}$ স্থির হয়, এবং এই শর্তের ব্যাখ্যা দিন।
$ε$ -এ দ্বিতীয় ক্রম পর্যন্ত $S_{tot} (U_{0} + ε)$ -এর বিস্তার লিখুন। $S^{''} (U_{0})$ -এর উপর কোন শর্তে সমবণ্টন এনট্রপির একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ মান হয়? বিপরীত ক্ষেত্রে কী ঘটত?
দেখান যে $(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V, N} = - \frac{1}{T ^{2} C _{V}} .$ সেখান থেকে সিদ্ধান্ত নিন যে তাপীয় সাম্যের সুস্থিতি $C_{V} > 0$ আরোপ করে। ভৌত ব্যাখ্যা দিন: $C_{V}$ ঋণাত্মক হলে দুটি অংশের মধ্যে শক্তি বিনিময় কীভাবে বিবর্তিত হতো?
এবার $N$ স্থির রেখে একপরমাণুক আদর্শ গ্যাস বিবেচনা করা যাক: $S (U, V) = N k_{B} [\frac{3}{2} ln \frac{U}{N} + ln \frac{V}{N}] + N s_{0},$ যেখানে $s_{0}$ একটি ধ্রুবক। এর তাপমাত্রা ও তাপধারণ ক্ষমতা $C_{V}$ হিসাব করুন। পাঠের দুই-চলকের অবতলতার মানদণ্ড ব্যবহার করে যাচাই করুন যে $S$ , $(U, V)$ -এ অবতল।
শেষে $S (U, V) = A U^{2} / V$ মডেলটি প্রস্তাব করা হয়, যেখানে $A > 0$ ও $U > 0$ । যাচাই করুন যে এই সম্পর্ক ব্যাপক। তাপমাত্রা হিসাব করুন, তারপর $V$ ও $T$ -এর সাহায্যে তাপধারণ ক্ষমতা $C_{V}$ । এই মডেল কি একটি সুস্থিত সমসত্ত্ব পদার্থ বর্ণনা করতে পারে? অবতলতার মানদণ্ড দিয়ে সিদ্ধান্ত টানুন।

ইঙ্গিত

প্রশ্ন ৩-এর জন্য

(\partial S / \partial U)_{V, N} = 1/ T

সম্পর্কটিকে

U

-এর সাপেক্ষে অবকলন করুন, যৌগিক অপেক্ষকের অবকলজ ব্যবহার করে:

T

নির্ভর করে

U

-এর উপর, এবং

(\partial T / \partial U)_{V, N} = 1/ C_{V}

। প্রশ্ন ৪-এর জন্য দুই-চলকের মানদণ্ডটি হলো

S_{U U} \leq 0

S_{V V} \leq 0

এবং

S_{U U} S_{V V} - S_{U V}^{2} \geq 0

।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

প্রশ্ন ১। দুটি অংশ একই অপেক্ষক

S

দ্বারা বর্ণিত, এবং এনট্রপি যোগাত্মক:

S_{tot} (U_{1}) = S (U_{1}) + S (2 U_{0} - U_{1}) .

$U_{1}$ -এর সাপেক্ষে অবকলন করি। $S (2 U_{0} - U_{1})$ -এর অবকলজ $- S^{'} (2 U_{0} - U_{1})$ , ফলে

\frac{d S _{tot}}{d U _{1}} = S^{'} (U_{1}) - S^{'} (2 U_{0} - U_{1}) .

$U_{1} = U_{0}$ হলে দুটি অংশের শক্তি একই এবং অবকলজ শূন্য: সমবণ্টন স্থির। যেহেতু $S^{'} (U) = 1/ T$ , স্থিরতার সাধারণ শর্ত $S^{'} (U_{1}) = S^{'} (2 U_{0} - U_{1})$ হলো দুটি অংশের তাপমাত্রার সমতা: এটিই তাপীয় সাম্যের শর্ত।

প্রশ্ন ২। টেলরের সূত্র

f (U_{0} + h) = f (U_{0}) + f^{'} (U_{0}) h + \frac{1}{2} f^{''} (U_{0}) h^{2} + o (h^{2})

ব্যবহার করে প্রতিটি পদকে

U_{0}

-এর চারপাশে দ্বিতীয় ক্রম পর্যন্ত বিস্তার করি:

S (U_{0} + ε) = S (U_{0}) + S^{'} (U_{0}) ε + \frac{1}{2} S^{''} (U_{0}) ε^{2} + o (ε^{2}), S (U_{0} - ε) = S (U_{0}) - S^{'} (U_{0}) ε + \frac{1}{2} S^{''} (U_{0}) ε^{2} + o (ε^{2}) .

যোগ করলে প্রথম ক্রমের পদগুলি কাটাকাটি হয়:

S_{tot} (U_{0} + ε) = 2 S (U_{0}) + S^{''} (U_{0}) ε^{2} + o (ε^{2}) .

$S^{''} (U_{0}) < 0$ হলে যেকোনো শক্তি স্থানান্তর $ε \neq = 0$ মোট এনট্রপি কমায়: সমবণ্টন একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ মান, তাই একটি সুস্থিত সাম্য। বিপরীতে $S^{''} (U_{0}) > 0$ হলে, যেকোনো দিকে একটি ক্ষুদ্র শক্তি স্থানান্তর বিচ্ছিন্ন তন্ত্রের এনট্রপি বাড়ায়। তখন এই স্থানান্তর স্বতঃস্ফূর্তভাবে ঘটতে পারে: সমবণ্টন স্থির হলেও অস্থিত।

প্রশ্ন ৩। সংজ্ঞা অনুসারে

(\partial S / \partial U)_{V, N} = 1/ T

, যেখানে

V

ও

N

স্থির থাকলে

T

হলো

U

-এর একটি অপেক্ষক। এই সম্পর্কটিকে

U

-এর সাপেক্ষে অবকলন করি।

T

-এর সাপেক্ষে

1/ T

-এর অবকলজ

- 1/ T^{2}

, তাই যৌগিক অপেক্ষকের অবকলন অনুযায়ী

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V, N} = - \frac{1}{T ^{2}} (\frac{\partial T}{\partial U})_{V, N} .

আবার $(\partial T / \partial U)_{V, N} = 1/ (\partial U / \partial T)_{V, N} = 1/ C_{V}$ , ফলে

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V, N} = - \frac{1}{T ^{2} C _{V}} .

$T^{2} > 0$ হওয়ায় প্রশ্ন ২-এর সুস্থিতির শর্ত $S^{''} < 0$ , $C_{V} > 0$ -এর সমতুল্য।

ব্যাখ্যা: ধরা যাক

C_{V} < 0

, এবং অংশ 2 থেকে অংশ 1-এ সামান্য শক্তি যায়। শক্তি পাওয়া অংশ 1 ঠান্ডা হতো; শক্তি হারানো অংশ 2 গরম হতো। তাপ স্বতঃস্ফূর্তভাবে উষ্ণ থেকে শীতলে যায় বলে অংশ 1 তখন আরও বেশি শক্তি পেত: পার্থক্যটি মিলিয়ে না গিয়ে বাড়তে থাকত।

C_{V} > 0

হলে উল্টোটা ঘটে: যে অংশ শক্তি পায় সে গরম হয়, অন্যটিকে তাপ দেয়, এবং পার্থক্যটি মিলিয়ে যায়। প্রশ্ন ৪।

V

স্থির রেখে

U

-এর সাপেক্ষে

S

-কে অবকলন করি:

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = \frac{3 N k _{B}}{2 U} ⟹ U = \frac{3}{2} N k_{B} T, C_{V} = (\frac{\partial U}{\partial T})_{V} = \frac{3}{2} N k_{B} > 0.

দ্বিতীয় অবকলজগুলি হিসাব করি:

S_{U U} = \frac{\partial}{\partial U} (\frac{3 N k _{B}}{2 U}) = - \frac{3 N k _{B}}{2 U ^{2}} < 0, S_{V} = \frac{N k _{B}}{V}, S_{V V} = - \frac{N k _{B}}{V ^{2}} < 0,

এবং $S_{U V} = 0$ , কারণ $S_{U}$ , $V$ -এর উপর নির্ভর করে না। নির্ণায়কটি

S_{U U} S_{V V} - S_{U V}^{2} = (- \frac{3 N k _{B}}{2 U ^{2}}) (- \frac{N k _{B}}{V ^{2}}) - 0 = \frac{3 N ^{2} k _{B}^{2}}{2 U ^{2} V ^{2}} > 0.

মানদণ্ডের তিনটি শর্তই সর্বত্র পূরণ হয়: আদর্শ গ্যাসের এনট্রপি $(U, V)$ -এ অবতল, এবং এর সাম্য সুস্থিত।

প্রশ্ন ৫।

U

ও

V

-কে

λ > 0

দিয়ে গুণ করি:

S (λ U, λV) = A \frac{λ ^{2} U ^{2}}{λV} = λ A \frac{U ^{2}}{V} = λ S (U, V) .

অতএব সম্পর্কটি ব্যাপক। এর তাপমাত্রা মেনে চলে

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = \frac{2 A U}{V} > 0 ⟹ U = \frac{V}{2 A T} .

$V$ স্থির থাকলে $U$ হলো $1/ T$ -এর সমানুপাতিক, যার অবকলজ $- 1/ T^{2}$ :

C_{V} = (\frac{\partial U}{\partial T})_{V} = - \frac{V}{2 A T ^{2}} < 0.

তাপধারণ ক্ষমতা ঋণাত্মক: প্রশ্ন ৩ অনুযায়ী এই মডেল একটি সুস্থিত সমসত্ত্ব পদার্থ বর্ণনা করতে পারে না। অবতলতার মানদণ্ড দিয়ে সরাসরি যাচাই করা যায়: $S_{U U} = 2 A / V > 0$ , যা প্রথম শর্ত $S_{U U} \leq 0$ -ই লঙ্ঘন করে। এই সম্পর্ক দ্বারা বর্ণিত বস্তু সমসত্ত্ব থাকত না: প্রশ্ন ৩-এ বর্ণিত উপায়ে, এর যেকোনো দুটি অংশের মধ্যে সামান্যতম শক্তির ওঠানামাও বাড়তে থাকত।

অতএব কেবল ব্যাপকতা একটি অপেক্ষক

S (U, V, N)

-কে গ্রহণযোগ্য মৌলিক সম্পর্ক বানাতে যথেষ্ট নয়: সুস্থিতির জন্য এর অবতলতাও প্রয়োজন। তবু প্রকৃতিতে ঋণাত্মক তাপধারণ ক্ষমতা আছে, যেমন নক্ষত্রের ক্ষেত্রে, কিন্তু কেবল মহাকর্ষ-প্রধান, অযোগাত্মক তন্ত্রে, যেখানে এই যুক্তি প্রযোজ্য নয়।