একটি সুষম মহাকর্ষীয় গোলক গঠন

$R$ ব্যাসার্ধের একটি গোলকে $M$ ভর সুষমভাবে বণ্টিত, যার ঘনত্ব ${\rho }_m$। এর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি $U_{\mathrm{grav}}$ হিসাব করতে হবে; ভর-উপাদানগুলি অসীম দূরে থাকলে শক্তিকে শূন্য ধরা হয়।

কল্পনা করা যাক, একই ঘনত্ব বজায় রেখে গোলকটিকে এককেন্দ্রিক স্তরে স্তরে গঠন করা হচ্ছে। যে ধাপে ব্যাসার্ধ $r$-এ পৌঁছায়, সেখানে ইতিমধ্যে গঠিত ভর $M(r)$ এবং অসীম দূর থেকে $\mathrm{d}M$ ভরের একটি খোলক আনা হয়। মেনে নিন যে ভেতরের ভর খোলকের পৃষ্ঠে $-GM(r)/r$ বিভব সৃষ্টি করে। হিসাবটি কেবল মহাকর্ষীয় শক্তি নিয়ে; গোলকের কোনো যান্ত্রিক সাম্য ধরে নেওয়া হয় না।

1. ইতিমধ্যে গঠিত গোলক এবং $r$ ও $r+\mathrm{d}r$-এর মধ্যে যুক্ত খোলকটি আঁকুন। $M,R,r$ ও $\mathrm{d}r$-এর সাহায্যে ${\rho }_m$, $M(r)$ ও $\mathrm{d}M$ প্রকাশ করুন।
2. ভেতরের গোলকের সঙ্গে খোলকের মিথস্ক্রিয়া শক্তি প্রকাশ করুন, তারপর সমাকলন করে $U_{\mathrm{grav}}$ নির্ণয় করুন। ফলটিকে কি দুই দিয়ে ভাগ করতে হবে?
3. গোলকে $m$ ভরের $N$টি উপাদান আছে, যেখানে $M=Nm$। ধ্রুব ঘনত্ব ${\rho }_m$-এ $N$-এর সাহায্যে $R$ প্রকাশ করুন, তারপর $U_{\mathrm{grav}}$ ও $U_{\mathrm{grav}}/N$ কীভাবে $N$-এর উপর নির্ভর করে তা নির্ণয় করুন।
4. $2N$ উপাদানের একটি গোলকের শক্তিকে পরস্পর থেকে অসীম দূরে থাকা, প্রতিটি $N$ উপাদানের দুটি গোলকের শক্তির যোগফলের সঙ্গে তুলনা করুন; সবগুলির ঘনত্ব একই। পার্থক্যের চিহ্ন এবং ব্যাপকতা নিয়ে মন্তব্য করুন।