একটি আহিত গোলক ও ব্যাপকতার প্রশ্ন

শূন্যস্থানে $R$ ব্যাসার্ধের একটি গোলকের আয়তনে মোট আধান $\mathcal{Q}>0$ সুষমভাবে বণ্টিত। কিছু বাধা এই বণ্টন বজায় রাখে; এখানে কেবল এর স্থিরতড়িৎ শক্তি $U_{\mathrm{el}}$ গণনা করা হয়। এটি কোনো পরিবাহী গোলক নয়, যার আধান সাম্যে পৃষ্ঠে চলে যেত।

অসীম দূর থেকে আহিত খোলক এনে বণ্টনটি গঠন করা হয়। $r$ ব্যাসার্ধের একটি গোলকে ইতিমধ্যে গঠিত আধান $\mathcal{Q}(r)$ হলে পৃষ্ঠে বিভব $\Phi (r)=k_e\mathcal{Q}(r)/r$, যেখানে $k_e=1/(4\pi {\epsilon }_0)$। আধান-উপাদানগুলি অসীম দূরে পৃথক থাকলে শক্তি শূন্য।

1. গঠনের একটি ধাপ আঁকুন। $\mathcal{Q},R,r$ ও $\mathrm{d}r$-এর সাহায্যে $\mathcal{Q}(r)$ ও $\mathrm{d}\mathcal{Q}$ প্রকাশ করুন, তারপর $U_{\mathrm{el}}$ হিসাব করুন।
2. একই আধান $q_0$ বিশিষ্ট $N$টি উপাদানের একটি অবিচ্ছিন্ন মডেলে $\mathcal{Q}=N{q}_0$ ধরা হয়। কণা-ঘনত্ব ধ্রুব রেখে $R=r_0{N}^{1/3}$ লিখুন এবং শক্তি কীভাবে $N$-এর উপর নির্ভর করে তা নির্ণয় করুন। এর চিহ্ন ও সমঘাততার ঘাতকে মহাকর্ষের সঙ্গে তুলনা করুন।
3. মোট আধান ধ্রুব রেখে $R_A$ থেকে $R_B>R_A$ পর্যন্ত প্রসারণে শক্তির পরিবর্তন হিসাব করুন। প্রসারণটি প্রায়-স্থিতিশীল ও অপচয়হীন হলে গৃহীত বাহ্যিক কাজের চিহ্ন কী? এই কাজের রাশিটি কেবল বৈদ্যুতিক অবদান প্রকাশ করে।
4. ভিন্ন চিহ্নের আধানের জন্য আণুবীক্ষণিক মিথস্ক্রিয়া শক্তি লেখা যায় $$U_{\mathrm{el}}=k_e\sum _{i<j}\frac{q_i{q}_j}{r_{ij}}.$$

   কেবল এক চিহ্নের আধানযুক্ত গোলকের জন্য পাওয়া সূত্রটি কেন প্রমাণ করে না যে সব সাধারণ পদার্থ অব্যাপক? মোট আধান শূন্য হলেই কি এই যোগফল শূন্য হয়?