তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

সরণ, ঘূর্ণন ও তাপীয় আলোড়ন

অনুশীলনী 14 · পাঠ 4 — তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র

কোয়েনিগের উপপাদ্য
ঘূর্ণন
গতিশক্তি
অভ্যন্তরীণ শক্তি
ঘর্ষণ

প্রশ্ন

$m_{i}$ ভরের $N$ টি কণার একটি তন্ত্রের মোট ভর $M$ , ভরকেন্দ্রের অবস্থান $R$ এবং বেগ $V$ । ধরা যাক $ρ_{i} = r_{i} - R$ , এবং বেগগুলিকে বিভাজন করা হয়:

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

সামগ্রিক কৌণিক বেগ $ω$ এমনভাবে বেছে নেওয়া হয় যাতে অবশিষ্ট গতি কোনো সামগ্রিক কৌণিক ভরবেগ বহন না করে:

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

নিচের অভেদটি মেনে নিন: $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ , যেখানে $I_{CM}$ ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে জড়তা টেনসর।

$E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ বিস্তার করুন এবং দেখান যে তিনটি মিশ্র পদই শূন্য। সেখান থেকে সরণ, সামগ্রিক ঘূর্ণন ও অবশিষ্ট গতির মধ্যে বিভাজনটি নির্ণয় করুন।
যে রীতিতে সামগ্রিক সরণ ও ঘূর্ণনকে সামষ্টিক গতি হিসেবে গণ্য করা হয়, সেখানে কোন গতিশক্তি অভ্যন্তরীণ শক্তিতে অন্তর্ভুক্ত হয়? শুধু তাপীয় আলোড়ন রাখতে কি ভরকেন্দ্রের নির্দেশতন্ত্রে যাওয়াই যথেষ্ট?
$M$ ভর ও $R$ ব্যাসার্ধের একটি সুষম চাকতি, যার অক্ষ স্থির, শুরুতে $ω_{0}$ কৌণিক বেগে ঘোরে। এর জড়তার ভ্রামক $I = M R^{2} /2$ । একটি ব্রেক একে থামিয়ে দেয়। চাকতি ও ব্রেক নিয়ে গঠিত তন্ত্রটি তাপরোধী; এর স্থির অবলম্বনগুলি কোনো কাজ সরবরাহ করে না। অপচয়িত সমস্ত শক্তি এই তন্ত্রেই থেকে যায়, যার মোট তাপধারণ ক্ষমতা ধ্রুব $C$ । এর অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন ও তাপমাত্রা বৃদ্ধি নির্ণয় করুন।
$M = 2, 0 kg$ , $R = 0, 10 m$ , $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ এবং $C = 500 J K^{- 1}$ হলে রূপান্তরিত শক্তি ও তাপমাত্রা বৃদ্ধি হিসাব করুন। এই শক্তি কি তাপ হিসেবে তন্ত্রের সীমানা অতিক্রম করেছে?

ইঙ্গিত

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

এবং মিশ্র গুণফলের অভেদ

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

ব্যবহার করুন। ব্রেক করার সময়

U + E_{kin}^{macro}

সংরক্ষিত থাকে।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

প্রশ্ন ১। ভরকেন্দ্রের সংজ্ঞা দেয়

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

। ফলে

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

প্রতিটি বর্গ বিস্তার করলে

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

প্রথম মিশ্র পদটি ভরকেন্দ্রের সংজ্ঞার কারণে শূন্য। দ্বিতীয়টি শূন্য, কারণ অবশিষ্ট ভরবেগ শূন্য। তৃতীয়টির ক্ষেত্রে মিশ্র গুণফল দেয়

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

জড়তা টেনসরের প্রদত্ত অভেদ ব্যবহার করলে থাকে

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

প্রশ্ন ২। এই রীতিতে অভ্যন্তরীণ শক্তিতে গতিশক্তির অবদান হলো শেষ পদটি, $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ । অভ্যন্তরীণ শক্তিতে অভ্যন্তরীণ বিভব শক্তি এবং অন্যান্য সম্ভাব্য অভ্যন্তরীণ স্বাধীনতার মাত্রাও অন্তর্ভুক্ত থাকে। ভরকেন্দ্রের নির্দেশতন্ত্রে গেলে সরণের পদটি শূন্য হয়, কিন্তু সামগ্রিক ঘূর্ণনের পদটি থেকে যায়। যেমন, স্থির অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণায়মান একটি চাকতির ভরকেন্দ্র স্থির থাকলেও তার সামষ্টিক গতিশক্তি থাকে।

প্রশ্ন ৩। চাকতি ও ব্রেক নিয়ে গঠিত তন্ত্রের সীমানা অতিক্রমকারী তাপ ও কাজ শূন্য। অবলম্বনের বলগুলি কৌণিক ভরবেগ সঞ্চারিত করতে পারে, কিন্তু তাদের প্রয়োগবিন্দু স্থির বলে তারা কোনো কাজ সঞ্চারিত করে না। সামষ্টিক শক্তির অন্য সব পরিবর্তন উপেক্ষা করলে সংরক্ষণ দেয়

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

চাকতি থেমে যায়, তাই $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ । অতএব

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

অভ্যন্তরীণ তাপীয় সাম্য প্রতিষ্ঠিত হলে ধ্রুব তাপধারণ ক্ষমতার মডেল দেয় $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ , অর্থাৎ

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

ঘর্ষণ সুশৃঙ্খল গতির শক্তিকে তন্ত্রের ভেতরেই অভ্যন্তরীণ শক্তিতে রূপান্তরিত করে।

প্রশ্ন ৪। জড়তার ভ্রামক

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

। পাওয়া যায়

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

$Q = 0$ হলেও তন্ত্রটি গরম হয়: এই শক্তি তাপ হিসেবে তার সীমানা অতিক্রম করেনি। এটি শুরু থেকেই ঘূর্ণনের গতিশক্তি হিসেবে তন্ত্রে উপস্থিত ছিল।