তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র

আগের পাঠে তাপগতীয় তন্ত্র, সাম্যাবস্থা ও অবস্থা অপেক্ষক প্রবর্তন করা হয়েছে। এখন আমরা একটি কেন্দ্রীয় প্রশ্নের উত্তর দেব: তন্ত্রের শক্তিকে এই সামষ্টিক উপস্থাপনায় কীভাবে অন্তর্ভুক্ত করা যায়?

কোনো কোনো কোর্সে প্রশ্নটি খুব দ্রুত মিটিয়ে দেওয়া হয়: প্রথম সূত্রকে শক্তির সাধারণ সংরক্ষণ হিসেবে উপস্থাপন করে কোনো অতিরিক্ত ব্যাখ্যা ছাড়াই সরাসরি শক্তির হিসাবের সূত্র লেখা হয়। অনুচ্ছেদ 3 ও 4.3-এ আমরা এই সূত্রগুলি দেখব; তাড়াহুড়োয় থাকা পাঠক সরাসরি সেখানে যেতে পারেন (অনুচ্ছেদ 7-এর সংক্ষিপ্ত সংশ্লেষও দেখুন)।

কিন্তু এই সূত্রগুলির নির্মাণ আসলে সূক্ষ্ম। প্রথমত, প্রথম সূত্র শুধু শক্তির সংরক্ষণের চেয়ে বেশি কিছু বলে; আণুবীক্ষণিক দৃষ্টিকোণ থেকে সংরক্ষণটি আজ আমাদের স্বাভাবিক মনে হয়। আমরা দেখাব যে সূত্রটি প্রায় $6N$টি স্থানাঙ্কবিশিষ্ট স্থানে বলবিদ্যাগতভাবে সংজ্ঞায়িত শক্তি $U_{\mathrm{micro}}$-এর অস্তিত্ব এবং অল্প কয়েকটি সামষ্টিক চলকের উপর নির্ভরশীল শক্তি-অবস্থা অপেক্ষক $U_{\mathrm{th}}$-এর অস্তিত্বের মধ্যকার যৌক্তিক ফাঁক পূরণ করে।

এরপর দেখাব যে শক্তির যোজ্যতা একটি অতিরিক্ত প্রয়োজনীয় অনুমান: এর মাধ্যমেই বিচ্ছিন্ন তন্ত্রের শক্তি সংরক্ষণ থেকে বদ্ধ তন্ত্রের সীমানায় শক্তির হিসাব পাওয়া যায়। এই শেষ ধাপই তাপের জ্ঞানতাত্ত্বিক ও যৌক্তিক মর্যাদা নির্দিষ্ট করে: বদ্ধ তন্ত্রের উপর সম্পাদিত সামষ্টিক কাজ হিসাব করার পরে শক্তির হিসাবে যে স্থানান্তর অবশিষ্ট থাকে তাকেই তাপ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: $Q \equiv \Delta U - W$।

এই পাঠে আমরা প্রথমে বদ্ধ তন্ত্র বিবেচনা করব: তাদের সীমানা দিয়ে কোনো পদার্থ যায় না। কারণটি সরল: উন্মুক্ত তন্ত্রে পদার্থ নিজেই সীমানা দিয়ে শক্তি বহন করে এবং শক্তির হিসাব জটিল করে। উন্মুক্ত তন্ত্রের বিষয়টি কোর্সের পরের অংশে আলোচিত হবে।

1. আণুবীক্ষণিক অভ্যন্তরীণ শক্তি

একটি গ্যালিলীয় নির্দেশতন্ত্রে একটি শাস্ত্রীয়, অ-কোয়ান্টাম ও অ-আপেক্ষিকতাবাদী তন্ত্র বিবেচনা করি¹। ভর $m_i$, অবস্থান $\vec r_i$ ও বেগ $\vec v_i$-বিশিষ্ট $N$টি বিন্দু-কণা ধরি। যেকোনো মুহূর্তে তার আণুবীক্ষণিক অবস্থা সম্পূর্ণভাবে নির্ধারিত হয়

দ্বারা, যেখানে $\Gamma$ তন্ত্রের শাস্ত্রীয় দশা-স্থান; এই সরল মডেলে তার মাত্রা $\dim\Gamma=6N$। ধরা হয়, সব অভ্যন্তরীণ বল—যেমন অণুগুলির মধ্যে আকর্ষণ বা বিকর্ষণ—সংরক্ষণশীল। তাদের সঙ্গে মোট স্থিতিশক্তি $E_p^{\mathrm{int}}(\vec r_1,...,\vec r_N)$ যুক্ত করা যায়, যেখানে $\vec F_i^{\,\mathrm{int}} =-\nabla_{\vec r_i}E_p^{\mathrm{int}}$। তন্ত্রটি তার ওজনের মতো বাহ্যিক সংরক্ষণশীল বলের অধীনও থাকতে পারে। একইভাবে তাদের সঙ্গে বাহ্যিক স্থিতিশক্তি $E_p^{\mathrm{ext}}(\vec r_1,...,\vec r_N)$ যুক্ত করা হয়।

নির্বাচিত নির্দেশতন্ত্রে তন্ত্রটি আবশ্যিকভাবে স্থির নয়। যেকোনো মুহূর্তে তার ভরকেন্দ্র এবং সময়নির্ভর হতে পারে এমন বেগ $\vec V$ সংজ্ঞায়িত করা যায়। তন্ত্রের মোট ভর এবং ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে বেগ প্রবর্তন করে,

মোট গতিশক্তি লেখা যায়

বর্গটি বিস্তার করলে দেখা যায় মিশ্র পদগুলি বাতিল হয়, কারণ $\sum_i m_i\vec u_i=\vec 0$। শাস্ত্রীয় বলবিদ্যায় এই ফলাফলটি কোয়েনিগের উপপাদ্য নামে পরিচিত:

অতএব

পাওয়া যায়। মোট গতিশক্তি সবসময়² ভরকেন্দ্রের সামষ্টিক গতিশক্তি এবং অবশিষ্ট আপেক্ষিক, “বিশৃঙ্খল” গতির শক্তিতে বিভক্ত হয়; পরেরটিই তাপীয় আলোড়ন।

বিভিন্ন পদ একত্র করলে মোট যান্ত্রিক শক্তি শেষ পর্যন্ত

রূপে লেখা যায়। মন্তব্য: $E_{\mathrm{int}}^{\mathrm{autres}}$ পদটি সেই অভ্যন্তরীণ স্বাধীনতার মাত্রাগুলির অবদান একত্র করে, যেগুলি এই ন্যূনতম বিন্দু-কণা মডেলে বর্ণিত নয়; যেমন অণুর ঘূর্ণন বা কম্পনীয় স্বাধীনতা। এগুলি স্পষ্টভাবে মডেল করা হলে দশা-স্থান $\Gamma$-কে সেই অনুযায়ী প্রসারিত করতে হয়।

পরবর্তী অংশে আমরা সামষ্টিকভাবে স্থির, সামগ্রিক ঘূর্ণনহীন এবং অপরিবর্তিত বাহ্যিক স্থিতিশক্তিবিশিষ্ট তন্ত্র বিবেচনা করব। তাই শক্তির উৎসের একটি নির্বাচন পর্যন্ত লেখা যাবে

এখন আমরা তাপগতীয় শক্তি-অবস্থা অপেক্ষক প্রবর্তন করব, যাকে সাময়িকভাবে $U_{\mathrm{th}}$ লিখব, এবং বুঝব কেন একে আগে থেকেই $U_{\mathrm{micro}}$-এর সঙ্গে অভিন্ন ধরা উচিত নয়।

2. তাপগতীয় অভ্যন্তরীণ শক্তি

উত্তাপক পাতের উপর রাখা এক হাঁড়ি জলকে তন্ত্র হিসেবে বিবেচনা করি। আমরা উপরের সরল কাঠামোতেই থাকি: হাঁড়িটি সামষ্টিকভাবে স্থির এবং তার বাহ্যিক স্থিতিশক্তি বদলায় না। তাই একটি ধ্রুবক পর্যন্ত $E_{\mathrm{tot}}=U_{\mathrm{micro}}$ লেখা যায়।

জল গরম করলে কোনো সামষ্টিক গতিশক্তি দেখা দেয় না এবং হাঁড়িটির অবস্থান বদলায় না। শক্তি তার সব রূপে কঠোরভাবে সংরক্ষিত ধরে নিলে, সরবরাহ করা শক্তি আবশ্যিকভাবে তার আণুবীক্ষণিক অভ্যন্তরীণ শক্তিতে পাওয়া যায়:

তাপগতিবিদ্যা ঠিক একই পরিবর্তন বর্ণনা করতে চায়। তাই এমন একটি রাশি $U_{\mathrm{th}}$ নির্মাণ করতে চাই যাতে

সমাধানটি স্পষ্ট মনে হয়। তাপগতীয় অভ্যন্তরীণ শক্তিকে কি আণুবীক্ষণিক অভ্যন্তরীণ শক্তির সঙ্গে অভিন্ন করলেই হয় না?

এই অভিন্নকরণ আসলে গাণিতিকভাবে ভুল হবে, কারণ অপেক্ষক দুটির সংজ্ঞাক্ষেত্র এক নয়। $U_{\mathrm{micro}}$ দশা-স্থানে সংজ্ঞায়িত এবং অন্তত $6N$টি চলকের উপর নির্ভর করে, কিন্তু $U_{\mathrm{th}}$ সাম্যাবস্থা $X=(x^1,...,x^d)\in\mathcal E$ বর্ণনাকারী মাত্র $d$টি স্বাধীন চলকের উপর নির্ভর করে (মনে রাখুন $x^i$ হলো তাপমাত্রা, চাপ বা আয়তনের মতো সামষ্টিক অবস্থা চলক)।

তবু অপেক্ষক দুটিকে এমনভাবে সম্পর্কিত হতে হবে যাতে $U_{\mathrm{th}}(X)$ সামষ্টিক স্কেলে সাম্যাবস্থা $X$-এর সঙ্গে সংশ্লিষ্ট অভ্যন্তরীণ শক্তি প্রকাশ করে। এই মাত্রিক হ্রাস কীভাবে কাজ করে তা ব্যাখ্যা করতে হবে। প্রশ্নটি গভীর এবং এই প্রারম্ভিক কোর্সের সীমার বাইরে। দুই স্কেলের মধ্যে এই উত্তরণ নিষ্পন্ন করতে চাইলে একটি আণুবীক্ষণিক বর্ণনা প্রয়োজন। পাঠ্যক্রম-বহির্ভূত উপ-অনুচ্ছেদ 6.2-এ পরিসাংখ্যিক পদার্থবিজ্ঞান কীভাবে সমস্যাটি সমাধান করে তার রূপরেখা দেওয়া হয়েছে।

কিন্তু কঠোর তাপগতীয় দৃষ্টিকোণ থেকে এই আণুবীক্ষণিক অভিন্নকরণের কোনো সম্ভাব্য ন্যায্যতা নেই; অল্প কয়েকটি সামষ্টিক চলকের অপেক্ষক হিসেবে $U_{\mathrm{th}}$-এর অস্তিত্ব স্বীকার্য হিসেবে নিতে হয়। এটিই প্রথম সূত্রের ভূমিকা। তাই সূত্রটি শুধু শক্তির সংরক্ষণ নয়, আরও গুরুত্বপূর্ণভাবে বলে যে সাম্যে এই শক্তিকে সামষ্টিক স্থান $\mathcal E$-এর উপর সংজ্ঞায়িত একটি অবস্থা অপেক্ষক দিয়ে উপস্থাপন করা যায়।

$d$টি স্বাধীন অবস্থা চলক $x^i$—যেমন আদর্শ গ্যাসের জন্য ($T$, $V$, $N$)—বেছে নিলে অপেক্ষক $U(T,V,N)$ অবস্থা-স্থানে একটি স্কেলার ক্ষেত্র সংজ্ঞায়িত করে। $U,T,V,N$ স্থানাঙ্কবিশিষ্ট প্রসারিত স্থানে তার লেখচিত্র একটি অধিপৃষ্ঠ, যাকে সাম্যপৃষ্ঠ বলা হয়; পরবর্তী কোর্সে এর ভূমিকা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ হবে, চিত্র 1 দেখুন।

শেষে একটি তাৎক্ষণিক অনুসিদ্ধান্ত লক্ষ করি, যা $U_{\mathrm{th}}$ ও $U_{\mathrm{micro}}$-এর পার্থক্য ভালোভাবে দেখায়: এখানে বিকশিত সাম্য তাপগতিবিদ্যায় সাম্যাবস্থার বাইরে তাপগতীয় অভ্যন্তরীণ শক্তি সাধারণত সংজ্ঞায়িত নয়। যেমন গ্যাসের আকস্মিক রূপান্তরের সময় তাকে একটিমাত্র তাপমাত্রা বা চাপ দেওয়া অসম্ভব—এটি খুবই সাধারণ। তখন সরাসরি তাপগতীয় অভ্যন্তরীণ শক্তি $U_{\mathrm{th}}$-ও যুক্ত করা যায় না, কারণ এটি শুধু সাম্যাবস্থার স্থান $\mathcal E$-তে সংজ্ঞায়িত। সমস্যা এই নয় যে শক্তি আর নেই; তার আণুবীক্ষণিক শক্তি প্রতিটি মুহূর্তে সম্পূর্ণ সংজ্ঞায়িত থাকে। সমস্যা হলো তন্ত্রটি তখন আর $X\in\mathcal E$ বিন্দু দিয়ে উপস্থাপিত নয়।

এই কথাগুলি বলার পরে, পরের অনুচ্ছেদ থেকে যান্ত্রিক অপেক্ষক $U_{\mathrm{micro}}$ আর সরাসরি আসবে না। আমরা তাপগতীয় অভ্যন্তরীণ শক্তি $U_{\mathrm{th}}$-কে শুধু $U$ লিখব; এটি যে কেবল সাম্যাবস্থার স্থানে সংজ্ঞায়িত, তা অন্তর্নিহিত থাকবে।

3. তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র

আগের অনুচ্ছেদে এখন প্রথম সূত্রটি বিবৃত করার জন্য প্রয়োজনীয় ভিত্তি অনেকটাই প্রস্তুত হয়েছে:

$U$ অপেক্ষকের মসৃণতাও একটি অ-তুচ্ছ অনুমান। বাস্তবে $U$-কে $\mathcal C^\infty$ হিসেবে নেওয়া যায়। সমতা 3-এ বিভবশক্তিগুলির কারণে $U$ কেবল একটি ধ্রুবক পর্যন্ত নির্ধারিত; তাই শুধু তার পরিবর্তনেরই ভৌত অর্থ আছে। সরলতার জন্য, এরপর আমরা এমন রূপান্তরেই সীমাবদ্ধ থাকব যেখানে সামষ্টিক গতিশক্তি ও বিভবশক্তি বদলায় না। তখন $\Delta E_{\mathrm{tot}}=\Delta U$।

এখন একটি বদ্ধ তন্ত্র $S$ বিবেচনা করি, যা পরিবেশের সঙ্গে শক্তি বিনিময় করতে পারে, কিন্তু পদার্থ নয়। সমগ্র তন্ত্র

সবসময় একটি বিচ্ছিন্ন তন্ত্রের অন্তর্ভুক্ত করা যায়। প্রথম সূত্র তখন আরোপ করে

শক্তি যোজ্য—অর্থাৎ তাদের পারস্পরিক ক্রিয়াশক্তি উপেক্ষণীয়—এই অতিরিক্ত অনুমানে $E_{S'}=E_S+E_{\mathrm{Ext}}$; ফলে

যোজ্যতার অনুমান শক্তি-সংরক্ষণকে উপতন্ত্রগুলির মধ্যে হিসাব হিসেবে প্রকাশ করতে দেয়: তন্ত্র যে শক্তি অর্জন করে, তার পরিবেশ সেই শক্তি হারায়, এবং বিপরীতটিও সত্য। এখন নির্দিষ্ট করতে হবে, তন্ত্রের সীমানা পেরিয়ে এই শক্তি কীভাবে স্থানান্তরিত হয়। আমরা স্থানান্তরের দুটি ধরন আলাদা করব: বলবিদ্যা থেকে স্বাধীন সংজ্ঞাপ্রাপ্ত কাজ, $W$, এবং তাপ, $Q$।

শক্তির হিসাব তখন হবে

যেখানে $W$ হলো তন্ত্রের গৃহীত কাজ এবং $Q$ তার গৃহীত তাপ।

লক্ষ্য করুন, শক্তির যোজ্যতার অনুমানটি অ-তুচ্ছ। প্রাথমিক স্তরে প্রচলিত তাপগতীয় তন্ত্রের জন্য এটি স্বীকার করা যায়, কিন্তু এটি সবসময় বৈধ নয়। বিশেষত দীর্ঘ-পাল্লার মিথস্ক্রিয়া শক্তির যোজ্যতা ও ব্যাপকতা—দুটিকেই একসঙ্গে ব্যর্থ করতে পারে; অনুচ্ছেদ 6.4 দেখুন।

এখন স্থানান্তরের এই দুটি ধরন সংজ্ঞায়িত করতে হবে। তার আগে একটি অত্যন্ত প্রচলিত চিহ্ন-রীতি মনে রাখা অপরিহার্য, যা এই বইয়ের পরবর্তী অংশে সর্বত্র ব্যবহৃত হবে।

4. কাজ, তাপ ও শক্তির হিসাব

4.1. কাজ

কাজের একটি সুবিধা হলো, বলবিদ্যা থেকে উত্তরাধিকারসূত্রে পাওয়া তাপগতিবিদ্যা-স্বাধীন একটি সংজ্ঞা তার আছে। তন্ত্রের সীমানার কোনো বিন্দুতে বাহ্যিক বল $\vec F_{\mathrm{ext}}$ ক্রিয়া করলে এবং বিন্দুটি $d\vec r$ সরলে, ঐ বলের দেওয়া—অর্থাৎ তন্ত্রের গৃহীত—প্রাথমিক কাজ

বিস্তৃত তন্ত্রের ক্ষেত্রে সীমানায় কাজ করা সব বাহ্যিক বলের অবদান যোগ করতে হয়।

ব্যবহারে সবচেয়ে বেশি লাগবে এমন ক্ষেত্র হলো চলনশীল দেয়ালবিশিষ্ট পাত্রে আবদ্ধ তরল; এতে চাপবলগুলির কাজ নির্ণয় করতে হয়। সমতল পিস্টন ও $\mathcal S$ প্রস্থচ্ছেদবিশিষ্ট সিলিন্ডারে আবদ্ধ একটি গ্যাস বিবেচনা করি; চিত্র 2 দেখুন। $x$ অক্ষটি গ্যাসের বাইরে অভিমুখী। পিস্টন $dx$ পরিমাণ সরলে আয়তন বদলায়

গ্যাসের সীমানায় প্রযুক্ত বাহ্যিক চাপকে $P_{\mathrm{ext}}$ লিখি। গ্যাসের গৃহীত বল ভিতরের দিকে এবং তার মান

অতএব গ্যাসের গৃহীত প্রাথমিক কাজ

অর্থাৎ

ব্যাঙ্কারের নিয়মে চিহ্নটি সঙ্গে সঙ্গে যাচাই করা যায়। সংকোচনে $dV<0$, তাই $\delta W>0$: গ্যাস কাজ গ্রহণ করে। প্রসারণে $dV>0$, তাই $\delta W<0$: গ্যাস পরিবেশকে কাজ দেয়।

লক্ষ্য করুন, এই সূত্রে চাপটি তন্ত্রের বাহ্যিক চাপ; সাধারণভাবে এটি গ্যাসের নিজের চাপের সমান হওয়ার কোনো কারণ নেই। সাম্যের বাইরে আকস্মিক রূপান্তরের ক্ষেত্রে এটি বিশেষভাবে মনে রাখা জরুরি, কারণ তখন অভ্যন্তরীণ চাপই সাধারণত সংজ্ঞায়িত নয়।

সমাকলন করে, বাহ্যিক চাপ জানা আছে এমন সসীম রূপান্তর $A\to B$-এর জন্য পাই

এই সমাকল দেখায়, মোট কাজ গণনা করতে পুরো রূপান্তরজুড়ে $P_{\mathrm{ext}}$-এর মান জানতে হয়। এর একটি গুরুত্বপূর্ণ ফল আছে: সাধারণভাবে কেবল প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থা $A$ ও $B$ থেকে কাজ নির্ধারণ করা যায় না; তার রাশি অনুসৃত প্রক্রিয়ার উপর নির্ভর করে।

এখানে তিনটি বিশেষ ক্ষেত্র উল্লেখযোগ্য।

1. $P_{\mathrm{ext}}$ ধ্রুব হলে $W_{\mathrm{pression}}[A\to B] = -P_{\mathrm{ext}}\Delta V$।
2. সমআয়তনিক রূপান্তরে $dV=0$ এবং চাপবলগুলির কাজ শূন্য: $\delta W_{\mathrm{pression}}=0$ ও $W_{\mathrm{pression}}[A\to B]=0$।
3. শূন্যস্থানে প্রসারণে $P_{\mathrm{ext}}=0$, তাই চাপবলগুলির কাজও শূন্য।

4.2. তাপ

কাজই শক্তি স্থানান্তরের একমাত্র ধরন হতে পারে না: দৃঢ় পাত্রে থাকা গ্যাস গরম করলে কোনো বাহ্যিক কাজ ছাড়াই তার তাপমাত্রা ও শক্তি বাড়ে। অর্থাৎ কাজের রূপে নয়, তবু শক্তি তন্ত্রের সীমানা অতিক্রম করেছে। শক্তি স্থানান্তরের এই দ্বিতীয় ধরনকে তাপ বা তাপীয় স্থানান্তর বলা হয়।

এখানে গৃহীত নির্মাণে (সমতুল্য বিকল্প নির্মাণের জন্য উপ-অনুচ্ছেদ 6.1 দেখুন), সাম্যাবস্থা $A$ ও $B$-কে যুক্ত করা ভৌত রূপান্তর $A\to B$-তে তন্ত্রের গৃহীত সব কাজ শনাক্ত করার পর, গৃহীত তাপকে সংজ্ঞায়িত করা হয়

তাই আগে ঘোষিত সম্পর্কটি আবার পাওয়া যায়,

কাজ যেহেতু $A\to B$ রূপান্তরের পথের উপর নির্ভর করে এবং শক্তির পরিবর্তন $\Delta U=U(B)-U(A)$ পথের উপর নির্ভর করে না, তাই বিনিময় করা তাপের পরিমাণও অবশ্যই পথের উপর নির্ভর করে।

তাপগতিবিদ্যার ভাষায় অভ্যন্তরীণ শক্তি $U$ একটি অবস্থা অপেক্ষক (স্বীকার্য অনুযায়ী), কিন্তু কাজ $W$ ও তাপ $Q$ নয়। এর অর্থ হলো, $W$ ও $Q$ কোনো মুহূর্তে তন্ত্রের অবস্থার অপেক্ষক হতে পারে না: তন্ত্রের মধ্যে ‘কাজের পরিমাণ’ বা ‘তাপের পরিমাণ’ সঞ্চিত নেই; বরং $A\to B$ রূপান্তরের সময় $W$ ও $Q$ তার সীমানায় শক্তি স্থানান্তর। পাঠ ২-এ বর্ণিত বিভিন্ন পরীক্ষার আলোকে আমরা ঠিক এটিই পেতে চেয়েছিলাম।

একটি চক্রাকার রূপান্তর $A\to A$-তে তন্ত্র প্রাথমিক অবস্থায় ফিরে আসে, তাই

প্রথম সূত্র তখন আরোপ করে

অতএব একটি চক্রাকার যন্ত্র পরিবেশ থেকে সমপরিমাণ শক্তি না নিয়ে অনির্দিষ্টকাল কাজ দিতে পারে না। ঐতিহাসিকভাবে একে প্রথম প্রকারের চিরস্থায়ী গতি-র অসম্ভবতা বলা হয়।

4.3. প্রথম সূত্রের অন্তরক রূপ

সম্পর্কটি

দুটি সাম্যাবস্থা $A$ ও $B$-কে যুক্ত করে। এটি সর্বদা সত্য; মধ্যবর্তী সব অবস্থাকেও সাম্যাবস্থার স্থান $\mathcal E$-এর বিন্দু দিয়ে প্রকাশ করতে হবে—এমন অনুমান এতে নেই। রূপান্তর আকস্মিক হলে তন্ত্র সাময়িকভাবে $\mathcal E$-এর সাম্যপৃষ্ঠ ছেড়ে যেতে পারে, যদিও $U(A)$ ও $U(B)$ সম্পূর্ণভাবে সংজ্ঞায়িত থাকে।

এখন একটি বিশেষ ক্ষেত্র বিশদে দেখি। রূপান্তরটি কোয়াসি-স্থিতিশীল ধরা যাক। সংজ্ঞা অনুযায়ী তখন প্রতি মুহূর্তে তন্ত্র একটি সাম্যাবস্থায় থাকে। ফলে রূপান্তরটিকে

অসীম নিকটবর্তী সাম্যাবস্থার একটি পথ দিয়ে প্রকাশ করা যায়, যা সাম্যপৃষ্ঠ ছাড়ে না। $U$ যেহেতু $\mathcal E$-এর উপর অন্তরকলনীয় অবস্থা অপেক্ষক, অসীম নিকটবর্তী দুই অবস্থার মধ্যে তার পরিবর্তন একটি সম্পূর্ণ অন্তরক, যা $dU$ লেখা হয়।

সংশ্লিষ্ট তাপ ও কাজের প্রাথমিক স্থানান্তরকে $\delta Q$ ও $\delta W$ লেখা হয়। প্রথম সূত্র তখন

$dU$ এবং $\delta W$ বা $\delta Q$-এর চিহ্নগত পার্থক্য শুধু বাহ্যিক নয়। প্রথমটি সম্পূর্ণ অন্তরক, অন্য দুটি নয়—এটি গাণিতিকভাবে প্রকাশ করে যে শক্তির পরিবর্তন পথের উপর নির্ভর করে না, কিন্তু $Q$ ও $W$ করে। পরের অনুচ্ছেদে এই গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি বোঝার জন্য প্রয়োজনীয় গণিত স্মরণ করানো হবে।

বিশেষ ক্ষেত্রে, যখন একমাত্র কাজ চাপবলগুলির এবং $P_{\mathrm{ext}}$-কে তন্ত্রের চাপ $P$-এর সঙ্গে অভিন্ন করা যায়, তখন

5. সম্পূর্ণ ও অসম্পূর্ণ অন্তরক রূপ

এই অনুচ্ছেদে একদিকে $dU$ এবং অন্যদিকে $\delta Q$, $\delta W$-এর পার্থক্যকে নির্ভুল অর্থ দেওয়ার জন্য ন্যূনতম প্রয়োজনীয় গণিত সংক্ষেপে দেওয়া হলো। যিনি ইতিমধ্যে এটি জানেন, তিনি অংশটি এড়িয়ে যেতে পারেন।

5.1. অপেক্ষকের অন্তরক

$x^1,...,x^d$ চলকের একটি অন্তরকলনীয় অপেক্ষক $f$ ধরা যাক। তার অন্তরক

যা $X$ বিন্দু থেকে প্রতিবেশী $X+dX$ বিন্দুতে গেলে $f$-এর পরিবর্তন মাপে। গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি হলো: $A$ থেকে $B$-তে যাওয়া কোনো পথ $\gamma$ অনুসরণ করে সব প্রাথমিক পরিবর্তন যোগ করলে

বিশেষত বদ্ধ পথে

5.2. অন্তরক রূপ

এখন একই ধরনের একটি রাশি বিবেচনা করি, যাকে কোনো অপেক্ষকের অন্তরকের সঙ্গে একেবারেই গুলিয়ে ফেলা যাবে না। যেকোনো অপেক্ষক $A_i(x^1,...,x^d)$ নিয়ে সংজ্ঞায়িত করি

এমন বস্তুকে অন্তরক রূপ বলা হয়। $A_i$ অপেক্ষকগুলি জানা থাকলে যেকোনো পথ $\gamma$ বরাবর একে সমাকল করা যায়। কিন্তু এমন কোনো $f$ অপেক্ষক থাকবেই, যার অন্তরক $\omega$, অর্থাৎ প্রতিটি $i$-এর জন্য $A_i=\partial f/\partial x^i$—তার নিশ্চয়তা নেই।

• এমন $f$ থাকলে রূপটি সম্পূর্ণ, এবং $\omega=df$ লেখা হয়। তখন $\int_\gamma\omega=\int_\gamma df=f(B)-f(A)$ শুধু প্রান্তবিন্দুর উপর নির্ভর করে।
• না থাকলে রূপটি অসম্পূর্ণ; কোনো অপেক্ষকের অন্তরক নয়—এটি মনে করাতে $\omega$-র বদলে $\delta\omega$ লেখা হয়। (গণিতবিদেরা শুধু $\omega$-ই লিখতেন।)

5.3. শোয়ারৎসের মানদণ্ড

কোনো অন্তরক রূপ সম্পূর্ণ কি না নির্ধারণের একটি সরল পরীক্ষা হলো শোয়ারৎসের মানদণ্ড। সরলতার জন্য দুটি চলক ধরি (সাধারণীকরণ তাৎক্ষণিক):

$\omega$ সম্পূর্ণ হলে $A=\partial f/\partial x$ ও $B=\partial f/\partial y$, তাই

কারণ দুবার অবিচ্ছিন্নভাবে অন্তরকলনীয় অপেক্ষকের ক্ষেত্রে অন্তরকলনের ক্রম অপ্রাসঙ্গিক। ফলে সুবিধাজনক পরীক্ষাটি হলো

তাপগতিবিদ্যায় না-আসা কয়েকটি সূক্ষ্মতা বাদ দিলে বিপরীতটিও সত্য।

5.4. চাপবলগুলির কাজের উদাহরণ

কোয়াসি-স্থিতিশীল পথ বরাবর প্রাথমিক স্থানান্তরগুলিকে অবস্থা চলকের অপেক্ষক হিসেবে প্রকাশ করা গেলে $\delta Q$ ও $\delta W$, $\mathcal E$-এর উপর অন্তরক রূপ হয়ে যায়; তখন তাদের সম্পূর্ণতা পরীক্ষা করা যায়।

উদাহরণ হিসেবে $n$ মোল আদর্শ গ্যাসের একটি কোয়াসি-স্থিতিশীল রূপান্তর বিবেচনা করি, যেখানে $P_{\mathrm{ext}}=P$। তখন $\delta W=-P\,dV$। কিন্তু $P=nRT/V$ হওয়ায়

যেখানে $x=T$ ও $y=V$ শনাক্ত করা হয়েছে। এটি অবস্থা-স্থানে সংজ্ঞায়িত একটি অন্তরক রূপ। শোয়ারৎসের মানদণ্ডে

দুটি ক্রস-অন্তরজ সমান নয়: প্রাথমিক কাজ সত্যিই সম্পূর্ণ অন্তরক নয়। তাই এখানে এমন কোনো অবস্থা অপেক্ষক $W(T,V)$ নেই, যার পরিবর্তন $\delta W$; দুই অবস্থার মধ্যে গৃহীত কাজ সত্যিই অনুসৃত পথের উপর নির্ভর করে। একই যুক্তি $\delta Q=dU-\delta W$-এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য: $dU$ সম্পূর্ণ, $\delta W$ নয়, তাই তাদের পার্থক্যও সম্পূর্ণ হতে পারে না।

6. আরও এগিয়ে

6.1. প্রথম সূত্র নির্মাণের দুটি সম্ভাব্য পথ

এখানে আমরা নিম্নলিখিত যৌক্তিক ক্রম বেছে নিয়েছি: প্রথম সূত্রে অবস্থা অপেক্ষক $U$-এর অস্তিত্ব স্বীকার করা হয়েছে, কাজকে বলবিদ্যা থেকে স্বাধীনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তারপর হিসাব

দিয়ে তাপ সংজ্ঞায়িত হয়েছে। এর থেকে একটি উল্লেখযোগ্য তথ্য পাওয়া যায়। রূপান্তর রুদ্ধতাপীয় হলে $\Delta U=W$; অতএব রুদ্ধতাপীয় কাজ $W_{\mathrm{ad}}$ সর্বদা অনুসৃত পথ থেকে স্বাধীন।

এটি অভ্যন্তরীণ শক্তি নির্মাণের আরেকটি পথ নির্দেশ করে: কার্যগত, অর্থাৎ আণুবীক্ষণিক বিবেচনা থেকে স্বাধীন, এবং ঐতিহাসিক বিকাশের আরও কাছাকাছি। যুক্তির চক্র এড়াতে আগে $Q$ রাশি না এনেই রুদ্ধতাপীয় রূপান্তরগুলিকে চিহ্নিত করা হয়।

কৌশলটি সূক্ষ্ম: স্থানান্তরকে নয়, যন্ত্রব্যবস্থাকে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কোনো দেয়াল দিয়ে আবদ্ধ তন্ত্রের অবস্থা শুধু বাহ্যিক যান্ত্রিক স্থানাঙ্ক—পিস্টন, আলোড়ক বা বৈদ্যুতিক প্রবাহ—বদলিয়েই পরিবর্তন করা গেলে দেয়ালটিকে রুদ্ধতাপীয় বলা হয়। পরীক্ষাটি সরাসরি: এই স্থানাঙ্কগুলি স্থির রেখে বাইরের পরিবেশ ইচ্ছামতো বদলানো হয়, যেমন পাত্রটিকে বরফ-স্নানে ডোবানো বা আগুনের কাছে নেওয়া। তন্ত্রের কোনো অবস্থা চলক না বদলালে দেয়ালটি রুদ্ধতাপীয়।

এই চরিত্রায়নে শুধু অবস্থা ও যান্ত্রিক সরণ আসে, শক্তি-স্থানান্তর কখনোই নয়; তাই এটি তাপের ধারণার আগের। বাস্তবে ভালো অন্তরণ ব্যবহার করে, অথবা তাপীয় শিথিলন-কালের তুলনায় দ্রুত কাজ করে এর কাছাকাছি যাওয়া যায়।

গৃহীত কাজ সম্পূর্ণ যান্ত্রিক বা বৈদ্যুতিকভাবে মাপা যায়। ১৮৪৩ থেকে ১৮৫০ সালের মধ্যে সম্পন্ন এবং পরে ক্রমবর্ধমান নির্ভুলতায় পুনরাবৃত্ত জুলের পরীক্ষাগুলির সমগ্র পরীক্ষামূলক বক্তব্য এটিই: $h$ উচ্চতা থেকে পতিত $m$ ভর কোনো তাপীয় স্থানান্তর ছাড়াই $mgh$ কাজ দেয়। উপরের অর্থে রুদ্ধতাপীয় পাত্রে তাঁর নির্মিত সব ব্যবস্থা—পাখাযুক্ত আলোড়ক, উত্তাপক রোধ বা গ্যাসের সংকোচন—একই সিদ্ধান্ত দেয়: একই পরিমাণ কাজ একই অবস্থা-পরিবর্তন ঘটায়। পাঠ ২-এ যেমন ব্যাখ্যা করেছি, এটিই তাঁর ‘তাপের যান্ত্রিক সমতুল্য’। জুলই প্রথম পরীক্ষামূলক ইঙ্গিত দেন যে রুদ্ধতাপীয় কাজ অনুসৃত পথের উপর নির্ভর করে না।

এরপর ১৯০৯ সালে কারাথেওডোরি ^[2], এবং বিশেষত ১৯২১ সালে বর্ন, এই পরীক্ষামূলক তথ্যকে স্বীকার্য করার প্রস্তাব দেন। এটি মেনে নিলে

বসিয়ে অবস্থা অপেক্ষক $U$ সহজে নির্মাণ করা যায়, তারপর সাধারণ রূপান্তরে পার্থক্য দিয়ে তাপ সংজ্ঞায়িত করা যায়, যেমন আমরা করেছি।

পিপার্ড ^[3] ও ক্যালেন ^[4]-সহ বহু গ্রন্থে এই নির্মাণ ব্যবহৃত হয়েছে। এটি আমাদের নির্মাণের সমতুল্য: $U$ স্বীকার করে রুদ্ধতাপীয় কাজের পথ-স্বাধীনতা নিষ্পন্ন করা এবং কাজটির পথ-স্বাধীনতা স্বীকার করে $U$ নির্মাণ করা একই কথা। জুল থেকে কারাথেওডোরি ও বর্ন পর্যন্ত এই ধারণাগত বিবর্তনের বিশদ বিবরণ রোজেনবার্গ ^[5]-এ পাওয়া যাবে।

6.2. মাইক্রো ও ম্যাক্রো-অবস্থা

উপরের কার্যগত পথটি না নিলে অনুচ্ছেদ 2 একটি মৌলিক প্রশ্ন প্রকাশ করে: $6N$ স্থানাঙ্কের স্থানে সংজ্ঞায়িত শক্তি কীভাবে অল্প কয়েকটি সামষ্টিক চলকের অপেক্ষকে সংকুচিত হয়? পরিসাংখ্যিক পদার্থবিজ্ঞান দুই স্কেলের মধ্যকার এই উত্তরণ নির্মাণ করে। নিচে তার মূল রেখা দেওয়া হলো।

পরিসাংখ্যিক পদার্থবিজ্ঞানে সাম্যাবস্থার স্থান $\mathcal E$-এর বিন্দু $X$-কে ম্যাক্রো-অবস্থা বলা হয়। সাধারণত একই ম্যাক্রো-অবস্থার সঙ্গে একই সামষ্টিক বাধা মেনে চলা বিপুলসংখ্যক মাইক্রো-অবস্থা $\gamma\in\Gamma$ সংশ্লিষ্ট।

দেখানো যায়, $N\to\infty$—যাকে তাপগতীয় সীমা বলা হয়—হলে এই মাইক্রো-অবস্থাগুলির শক্তি গড় মানের চারপাশে অত্যন্ত কেন্দ্রীভূত হয়। অর্থাৎ শক্তির আপেক্ষিক ওঠানামা শূন্যের দিকে যায়:

তখন $U_{\mathrm{th}}(X)=\langle U_{\mathrm{micro}}\rangle_X$ বসানো যায়, যেখানে গড়টি ম্যাক্রো-অবস্থার সঙ্গে সঙ্গত সব মাইক্রো-অবস্থার উপর নেওয়া। উপরের কেন্দ্রীভবনই এই সংজ্ঞাকে অর্থ দেয়। প্রতিটি মুহূর্তে তন্ত্র একটি নির্দিষ্ট মাইক্রো-অবস্থায় থাকে, গড়ে নয়; প্রায় সব অবস্থার শক্তি একই বলেই ম্যাক্রো-অবস্থার শক্তি বলা যায় এবং একইভাবে প্রস্তুত দুটি তন্ত্রে একই পরিমাপ পাওয়া যায়।

চিত্রকল্প হিসেবে ভাবা যায়, একটি ম্যাক্রো-অবস্থার সঙ্গে আণুবীক্ষণিকভাবে ভিন্ন কিন্তু সামষ্টিকভাবে অবিচ্ছেদ্য মাইক্রো-অবস্থার একটি বিশাল সমষ্টি যুক্ত। এটি দশা-স্থানের উপর সমতুল্যতা-শ্রেণির মতো। তবে নির্ভুল নির্মাণটি একটু আলাদা এবং দশা-স্থানের উপর সম্ভাবনা-বণ্টন ব্যবহার করে।

নিচের চিত্রটি প্রক্রিয়াটি সংক্ষেপে দেখায়।

6.3. সাধারণীকৃত কাজ

উপরে দেখা কাজের বিভিন্ন রূপের একটি সাধারণ গঠন আছে। চাপের কাজের জন্য

তার প্রসারণের জন্য

এবং পৃষ্ঠের কাজের জন্য

দেখেছি। প্রতিবার অন্তরক নেওয়া পদটি ব্যাপক, আর তার পূর্বগুণক নিবিড়। সাধারণীকরণ করে যেকোনো যান্ত্রিক কাজের পদ লেখা হয়

যেখানে $\nu_i^{\mathrm{ext}}$ হলো $x^i$ স্থানাঙ্কের সংযুগী বাহ্যিক সাধারণীকৃত বল—সাধারণত নিবিড়; আর $x^i$ সাধারণত ব্যাপক—এবং চিহ্নটি আমাদের রীতি অনুযায়ী।

বাহ্যিক সাধারণীকৃত বলগুলি তন্ত্রের সংশ্লিষ্ট তাপগতীয় বলের সঙ্গে অভিন্ন হলে (যেমন $P_{\mathrm{ext}}=P$), প্রথম সূত্র লেখা যায়

6.4. অভ্যন্তরীণ শক্তির ব্যাপকতা

আগের পাঠে অভ্যন্তরীণ শক্তিকে ব্যাপক রাশি হিসেবে উপস্থাপন করেছি: নিবিড় চলক স্থির রেখে সমসত্ত্ব তন্ত্রের আকার $\lambda$ গুণ করলে তার শক্তিও $\lambda$ গুণ হয়,

এই ধর্ম প্রথম সূত্রে স্বীকার করা হয় না। এটি একটি অতিরিক্ত অনুমান, যা আমরা প্রায়ই নেব, কিন্তু যা সবসময় সত্য নয়। তন্ত্রের উপাদানগুলির মধ্যে দীর্ঘ-পাল্লার বল—বিশেষত মহাকর্ষ—ব্যাপকতা নষ্ট করবে বলে আশা করা যায়।

এটি নির্দিষ্ট করি। $D$ মাত্রিক স্থানে ধ্রুব ঘনত্বে বণ্টিত $N$টি উপাদান বিবেচনা করি এবং তাদের পারস্পরিক ক্রিয়ার বিভবশক্তি

রূপে আচরণ করে ধরি। ঘনত্ব $\rho=N/V$ স্থির থাকলে তন্ত্রের বৈশিষ্ট্যসূচক রৈখিক আকার

এখন তিন ধাপে মোট পারস্পরিক ক্রিয়াশক্তি নির্ণয় করি।

প্রতিবেশী গণনা।

একটি উপাদান স্থির করে $r$ ও $r+dr$ দূরত্বের মধ্যে অন্য কতটি উপাদান আছে দেখি। এটি ঘনত্ব ও সংশ্লিষ্ট খোলকের আয়তনের গুণফল:

যেখানে $S_D$ হলো $D$ মাত্রায় একক গোলকের ক্ষেত্রফল; তিন মাত্রায় $4\pi$।

দূরত্বের উপর যোগ।

প্রতিটি প্রতিবেশী $E_p(r)\sim r^{-\alpha}$ অবদান দেয়। তাই একটি উপাদানের সঙ্গে অন্য সবগুলির পারস্পরিক ক্রিয়াশক্তি

নিম্নসীমা $a$ হলো ন্যূনতম নিকটবর্তী দূরত্ব, যার নিচে $1/r^\alpha$ সূত্রটি আর বৈধ নয় এবং যা $r\to0$-এ সমাকলকে অপসারী হওয়া থেকে রক্ষা করে। ঊর্ধ্বসীমা $L$ তন্ত্রের আকার: তার বাইরে কোনো প্রতিবেশী নেই।

উপাদানগুলির উপর যোগ।

উপাদানের সংখ্যা দিয়ে গুণ করি এবং প্রতিটি জোড়া দুবার না গুনতে দুই দিয়ে ভাগ করি:

যেখানে জ্যামিতিক গুণক $S_D/2$ ক্রম-মানের মধ্যে শোষিত হয়েছে। সমাকলটির মান

$\alpha>D$ হলে সূচক ঋণাত্মক: $L\to\infty$-এ সমাকলটি অভিসারী এবং নিম্নসীমা দ্বারা প্রভাবিত, তাই $a^{D-\alpha}/(\alpha-D)$ ধ্রুবকের ক্রমের। $\alpha<D$ হলে ঊর্ধ্বসীমা প্রভাবশালী এবং মান $L^{D-\alpha}=N^{1-\alpha/D}$-এর ক্রমের। শেষে $\alpha=D$ হলে আদিম অপেক্ষক লগারিদম, এবং সমাকলটি $\ln(L/a)=\tfrac1D\ln N$। ফলে

ভৌত ব্যাখ্যাটি স্পষ্ট। $\alpha>D$ হলে বল স্বল্প-পাল্লার: $E_p$-এর ক্ষয় প্রতিবেশীর সংখ্যা বৃদ্ধিকে ছাড়িয়ে যায়। প্রতিটি উপাদান শুধু নিকট প্রতিবেশ অনুভব করে; তাই তার শক্তি তন্ত্রের আকারের উপর নির্ভর করে না এবং মোট শক্তি $N$-এর সমানুপাতিক—অর্থাৎ ব্যাপক।

$\alpha\leq D$ হলে উল্টো: অধিকসংখ্যক দূরবর্তী প্রতিবেশ প্রাধান্য পায়, প্রতিটি উপাদান পুরো তন্ত্রকে অনুভব করে এবং তার নিজস্ব শক্তি তন্ত্রের আকারের সঙ্গে বাড়ে। মোট শক্তি তখন $N$-এর চেয়ে দ্রুত বাড়ে এবং ব্যাপকতা হারায়। তাই যথেষ্ট স্বল্প-পাল্লার মিথস্ক্রিয়া স্বাভাবিকভাবে ব্যাপক শক্তি দেয়, আর দীর্ঘ-পাল্লার মিথস্ক্রিয়া এই ধর্ম নষ্ট করতে পারে।

যেমন ত্রিমাত্রিক নিউটনীয় মহাকর্ষে

এবং আগের আনুমানিক হিসাব ধ্রুব ঘনত্বে দেয়

ঋণাত্মক চিহ্নটি—যা শুধু ক্রম-মানের যুক্তি থেকে পাওয়া যায় না—মহাকর্ষের আকর্ষণধর্ম প্রকাশ করে।

এই বইয়ের পরবর্তী অংশে শক্তির ব্যাপকতা ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হবে। মহাকর্ষ সর্বজনীন, কিন্তু অত্যন্ত দুর্বল বল: সংস্পর্শে আনা দুটি গ্যাসের আয়তন অধ্যয়নে বাস্তবে একে উপেক্ষা করা যায়। অন্যদিকে, গ্যাসের অভ্যন্তরীণ ভ্যান ডার ওয়ালস ধরনের বল খুব দ্রুত ক্ষয় হয় ($1/r^6$), তাই এ ক্ষেত্রে ব্যাপকতা প্রায় হুবহু সত্য।

কিন্তু তথাকথিত স্ব-মহাকর্ষীয় তন্ত্র—তারা, ছায়াপথ ইত্যাদি—বর্ণনায় মহাকর্ষ অপরিহার্য; শক্তির ব্যাপকতা আবশ্যিকভাবেই হারিয়ে যায় বলে পুরো তাপগতীয় বিশ্লেষণ গোড়া থেকে করতে হয়। ফলে এদের তাপগতিবিদ্যা প্রায় স্বতন্ত্র একটি বিজ্ঞান এবং অপ্রত্যাশিত আচরণ দেখায়: যেমন শক্তি বিকিরণকারী তারা ঠান্ডা না হয়ে গরম হয়। গ্রন্থের উন্নত অংশে আমরা এতে ফিরব।

7. সংশ্লেষ

এই পাঠে প্রতিষ্ঠিত এবং পরবর্তী সর্বত্র ব্যবহৃত বিষয়গুলি সংক্ষেপে বলা যাক।

• প্রথম সূত্র অবস্থা অপেক্ষক $U:\mathcal E\longrightarrow\mathbb R$—অভ্যন্তরীণ শক্তি—এর অস্তিত্ব স্বীকার করে এবং বিচ্ছিন্ন তন্ত্রের শক্তি-সংরক্ষণ ঘোষণা করে।
• বইয়ের পরবর্তী অংশে আমরা একে ব্যাপক এবং সব চলকের ক্ষেত্রে যথেষ্ট অবিচ্ছিন্ন ও অন্তরকলনীয়ও ধরে নেব।
• শক্তির যোজ্যতা যোগ করলে প্রথম সূত্র বদ্ধ তন্ত্র ও তার পরিবেশের মধ্যে শক্তির হিসাব হিসেবে সংরক্ষণকে প্রকাশ করতে দেয়। কাজকে বলবিদ্যা থেকে স্বাধীনভাবে সংজ্ঞায়িত করার পর অবশিষ্ট স্থানান্তর হিসেবে তাপ সংজ্ঞায়িত হয়; এতে ব্যবহারযোগ্য সূত্র $\Delta U=Q+W$ পাওয়া যায়।
• কোয়াসি-স্থিতিশীল রূপান্তরে শক্তির এই হিসাবের অন্তরক রূপ $dU=\delta Q+\delta W$, যেখানে শুধু $dU$ সম্পূর্ণ অন্তরক।

মুক্ত তন্ত্রের বিশ্লেষণ কোর্সের অন্যত্র আলোচনা করা হবে।

8. তথ্যসূত্র

জুল থেকে কারাথেওডোরি ও বর্ন পর্যন্ত প্রথম সূত্রের ধারণাগত বিবর্তনের জন্য রোজেনবার্গ ^[5] দেখুন। শাস্ত্রীয় উপস্থাপনার জন্য পিপার্ড ^[3] ও ক্যালেন ^[4] দেখুন।